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प्रश्न
आकृति ΔABC में ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक परस्पर एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करते हैं। रेखा AX यह भुजा BC को बिंदु Y पर प्रतिच्छेदित करती है; यदि AB = 5, AC = 4, BC = 6 तो `"AX"/"XY"` का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर
त्रिभुज के कोण समद्विभाजक गुणधर्म के अनुसार,
ΔABY में, `"AB"/"BY" = "AX"/"XY"` .....(1)
तथा ΔACY में, `"AC"/"CY" = "AX"/"XY"` .....(2)
∴ `"AB"/"BY" = "AC"/"CY" = "AX"/"XY"` .........[(1) तथा (2) से]
∴ `5/"BY" = 4/"CY" = "AX"/"XY"`
तुल्य अनुपात के सिद्धांत से,
∴ `(5 + 4)/("BY" + "CY") = "AX"/"XY"`
∴ `9/"BC" = "AX"/"XY"` .........(B-Y-C)
∴ `9/6 = "AX"/"XY"`
∴ `"AX"/"XY" = 9/6 = 3/2`
`"AX"/"XY" = underline(3/2)` है |
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दिए गए रिक्त स्थानों को भरकर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
ΔPMQ में किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
ΔPMR में किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`
∴ XY || QR ............(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के कोण समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिन्दु X तथा बिन्दु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR।
दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
हल:
ΔPMQ में,
किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
उसी प्रकार, ΔPMR में,
किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]
∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
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उपपत्ति:
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ΔABC में, DE || BC
∴ `(square)/("EB") = ("AD")/("DC")` ....(II) (`square`)
∴ `("AB")/square = square/("EB")` [(I) व (II) से]
