Advertisements
Advertisements
प्रश्न
आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा?
उत्तर
पक्ष: रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे.
OP = ३, m(कंस PM) = 120°
काढा : AP
उकल:
आकृतीमध्ये, कंस PMQ अर्धवर्तुळ आहे.
∴ m(कंस PMQ) = 180° ......[अर्धवर्तुळकंसाचे माप 180° असते.]
∴ m(कंस PM) + m(कंस MQ) = 180° ............[कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
∴ 120° + m(कंस MQ) = 180° …[पक्ष]
∴ m(कंस MQ) = 180° – 120°
∴ m(कंस MQ) = 60° .....(i)
∴ ∠MPQ = `1/2 xx` m(कंस MQ) .........…[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∴ ∠MPQ = `1/2 xx 60^circ` .......[(i) वरून]
∴ ∠MPQ = 30°
म्हणजेच ∠APQ = 30° .....(ii) [A – M –P]
ΔPAQ मध्ये, ∠PAQ = 90° ...........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∠APQ = 30° .....[(ii) वरून]
∴ ∠PAQ = 60° .........[ΔPQA चा उर्वरित कोन]
∴ ΔPAQ हा 30° – 60° – 90° त्रिकोण आहे.
∴ PQ = `sqrt3/2 "AP"` ...[60° कोनासमोरील बाजू]
∴ (PO + OQ) = `sqrt3/2 "AP"` ....[P – O – Q]
∴ (3 + 3) = ``sqrt3/2 "AP" ..........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या , OP = 3]
∴ AP = `(6 xx 2)/sqrt3`
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/(sqrt3 xx sqrt3)` ..........[`sqrt3` ने गुणून व भागून]
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/3`
∴ AP = `2 xx 2sqrt3`
∴ AP = `4sqrt3` एकक
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 6 सेमी आहे. रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. या माहितीवरून खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.
(1) ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का?
(2) बिंदू C हा रेषा AB पासून किती अंतरावर आहे? का?
(3) जर d(A,B) = 6 सेमी, तर d(B,C) काढा.
(4) ∠ABC चे माप किती अंश आहे? का?
दिलेल्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागातील R या बिंदूपासून काढलेले RM आणि RN हे स्पर्शिकाखंड वर्तुळाला बिंदू M आणि N मध्ये स्पर्श करतात. जर OR = 10 सेमी व वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असेल तर-
(1) प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी किती?
(2) ∠MRO चे माप किती?
(3) ∠MRN चे माप किती?
त्रिज्या 4.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका परस्परांना समांतर आहेत. तर त्या स्पर्शिकांतील अंतर किती हे सकारण लिहा.
आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -
(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.
(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.
(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.
आकृती मध्ये, केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात. रेषा l ही त्यांची सामाईक स्पर्शिका त्यांना अनुक्रमे C व D मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी व 6 सेमी असतील, तर रेख CD ची लांबी किती असेल?
आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r2
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 12.5 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाचा व्यास किती सेमी आहे?
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाचा रेख AB हा व्यास आहे. वर्तुळाची स्पर्शिका PQ वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ. तर सिद्ध करा - रेख CP ≅ रेख CQ.
खालील प्रमेय सिद्ध करा:
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.
