SCERT Maharashtra solutions for Geometry (Mathematics 2) [Marathi] 10 Standard SSC chapter 3 - वर्तुळ [Latest edition]

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

परस्परांना छेदणाऱ्या दोन वर्तुळांपैकी प्रत्येक वर्तुळ दुसऱ्या वर्तुळाच्या केंद्रातून जाते. जर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर 12 सेमी असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या किती सेमी आहे?

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा.

‘एक वर्तुळ एका समांतरभुज चौकोनाच्या सर्व बाजूंना स्पर्श करते, तर तो समांतरभुज चौकोन ______ असला पाहिजे’, या विधानातील रिकाम्या जागी योग्य शब्द लिहा. 

केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या कंस ACB मध्ये ∠ACB अंतर्लिखित केला आहे. जर m∠ACB = 65° तर m(कंस ACB) = किती? 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

चक्रीय `square`ABCD मध्ये, कोन ∠A च्या मापाची दुप्पट ही ∠C च्या मापाच्या तिप्पटी एवढी आहे. तर ∠C चे माप किती? 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

तीन नैकरेषीय बिंदूतून जाणारी किती वर्तुळे काढता येतील? 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 5.5 सेमी व 4.2 सेमी असतील, तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर किती सेमी असेल?

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित केलेल्या कोनाचे माप किती असते?

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

8 सेमी आणि 6 सेमी व्यास असणारी दोन वर्तुळे परस्परांना अंतर्स्पर्श करतात, तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर किती सेमी असेल? 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

एकाच वर्तुळावर बिंदू A, B, C असे आहेत, की m(कंस AB) = m(कंस BC) = 120°, दोन्ही कंसात B शिवाय एकही बिंदू सामाईक नाही. तर ΔABC कोणत्या प्रकारचा आहे? 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

आकृतीत `square`PQRS मध्ये, ∠RSP = 80°, तर ∠RQT = किती?

एका बिंदूतून जाणारी किती वर्तुळे काढता येतील?

A केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेख DP आणि रेख DQ हे स्पर्शिकाखंड आहेत, जर DP = 7 सेमी, तर रेख DQ ची लांबी काढा? 

दोन अंतर्स्पर्शी वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 3.5 सेमी व 4.8 सेमी आहेत, तर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर किती आहे?

अर्ध वर्तुळकंसाचे माप किती असते?

केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचे A, B, C हे तीन बिंदू आहेत. कंस BC आणि कंस AB यांची मापे अनुक्रमे 110° आणि 125° असतील, तर कंस AC चे माप काढा? 

खालील आकृतीमध्ये, ∠PQR = 50°, तर ∠PSR चे माप काढा?

सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळात रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते, तर ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का? 

आकृतीमध्ये, चौकोन ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे, जर ∠DAB = 75°, तर ∠DCB चे माप काढा?

सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची रेख DE ही जीवा आहे. रेख CF ⊥ जीवा DE आणि DE = 16 सेमी, तर DF ची लांबी काढा. 

आकृतीमध्ये, ∠ABC = 35°, तर m(कंस AXC) काढा?

एकाच वर्तुळाच्या एकरूप कंसांच्या संगत जीवा एकरूप असतात हे प्रमेय रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.

पक्ष : केंद्र B असलेल्या वर्तुळात कंस APC ≅ कंस DQE

साध्य : जीवा AC ≅ जीवा DE

सिद्धता : ΔABC आणि ΔDBE यांमध्ये,

बाजू AB ≅ बाजू DB ….........`square`

बाजू BC ≅ बाजू `square` ........`square`

∠ABC ≅ ∠DBE ...............[एकरूप कंसांची व्याख्या]

ΔABC ≅ ΔDBE .......................`square`

जीवा AC ≅ जीवा DE ..........[एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू] 

खालील आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळावर G ,D, E आणि F हे बिंदू आहेत. ∠ECF चे माप 70° आणि कंस DGF चे माप 200° असेल, तर कंस DE आणि कंस DEF यांची मापे काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

m(कंस EF) = ∠ECF ...........[लघुकंसाच्या मापाच्या व्याख्येनुसार]

∴ m(कंस EF) = `square`

परंतु, m(कंस DE) + m(कंस EF) + m(कंस DGF) = `square` ..............[पूर्ण वर्तुळाचे माप]

∴ m(कंस DE) = `square`

m(कंस DEF) = m(कंस DE) + m(कंस EF)

∴ m(कंस DEF) = `square`

आकृतीमध्ये, जीवा PQ आणि जीवा RS एकमेकींना बिंदू T मध्ये छेदतात, तर m∠STQ = `1/2`m(कंस PR) + m(कंस SQ)] हे सिद्ध करण्यासाठी खालील चौकटी भरून कृती पूर्ण करा.

सिद्धता:

m∠STQ = m∠SPQ + `square` .....[त्रिकोणाच्या बाह्य कोनाचे प्रमेय]

= `1/2`m(कंस SQ) + `square` ..........[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]

= `1/2[square + square]`

दिलेल्या आकृतीतील, जीवा EF || जीवा GH तर सिद्ध करा, जीवा EG ≅ जीवा FH. पुढे दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरा आणि सिद्धता लिहा.

सिद्धता:

रेख GF काढला.

∠EFG = ∠FGH .........`square` (i)

∠EFG = `square` ........… [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय] (ii)

∠FGH = `square` .......… [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय] (iii)

∴ m(कंस EG) = `square` ......[(i), (ii) व (iii) वरून]

जीवा EG ≅ जीवा FH ..............[एकरूप कंसांच्या संगत जीवा]

अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित झालेला कोन काटकोन असतो हे पुढील कृतीद्वारे सिद्ध करा.

पक्ष : केंद्र M असलेल्या अर्धवर्तुळात ∠ABC अंतर्लिखित कोन आहे.

साध्य : ∠ABC हा काटकोन आहे.

सिद्धता: अंतर्लिखित ∠ABC ने कंस AXC अंतर्खंडित केला आहे.

रेख AC हा वर्तुळाचा व्यास आहे.

m(कंस AXC) = `square`

तसेच, ∠ABC = `square` ...........…[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]

= `1/2 xx square` 

∴ ∠ABC = `square` 

∴ ∠ABC हा काटकोन आहे. 

सिद्ध करा: एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले कोन हे एकरूप असतात.

पक्ष : ∠PQR व ∠PSR एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले कोन आहेत, कंस PTR हा त्या कोनांनी अंतर्खंडित केलेला कंस आहे.

साध्य : ∠PQR ≅ ∠PSR

सिद्धता: 

m∠PQR = `1/2 xx` [m(कंस PTR)] .......(i) `square`

m∠`square = 1/2 xx` [mकंस PTR] ........(ii) `square`

m∠`square` = m∠PSR ..................[(i) व (ii) वरून]

∴ ∠PQR ≅ ∠PSR

सोबतच्या आकृतीत, O वर्तुळकेंद्र आहे, तर दिलेल्या माहितीवरून सारणी पूर्ण करा.

दिलेल्या आकृतीत, केंद्र D असलेले वर्तुळ ∠ACB च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर ∠ACB =  52°, तर ∠ADB चे माप काढा. 

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र A असलेल्या वर्तुळाला रेषा MN बिंदू M मध्ये स्पर्श करते. जर AN = 13 तसेच MN = 5 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

त्रिज्या 4.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका परस्परांना समांतर आहेत. तर त्या स्पर्शिकांतील अंतर किती हे सकारण लिहा.

आकृतीमध्ये, m(कंस NS) = 125°, m(कंस EF) = 37°, तर ∠NMS चे माप काढा.

एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 15 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी असेल, तर त्या वर्तुळाचा व्यास काढा.

आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळात m(कंस AXB) = 100°, तर केंद्रीय ∠ACB आणि m(कंस AYB) यांची मापे काढा.

सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळ केंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3`, तर

1. वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
2. ∠K आणि ∠M

आकृतीमध्ये, जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 100° आणि m(कंस AE) = 95°, तर m(कंस DC) काढा. 

वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी आकृतीच्या आधारे खालील कृती पूर्ण करा.

पक्ष: `square`

साध्य: `square`

सिद्धता:  

त्रिज्या AP आणि AQ काढून प्रमेयाची खाली दिलेली सिद्धता रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.

ΔPAD आणि ΔQAD यांमध्ये,

बाजू PA ≅ बाजू `square` ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

बाजू AD ≅ बाजू AD ...............[`square`]

∠APD ≅ ∠AQD = 90°  ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

∴ ΔPAD ≅ ΔQAD ..................[`square`]

∴ बाजू DP ≅ बाजू DQ ...............[`square`]

चक्रीय `square`MRPN मध्ये, ∠R = (5x - 13)° आणि ∠N = (4x + 4)°, तर ∠R आणि ∠N यांची मापे काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

उकल:

`square`MRPN हा चक्रीय चौकोन आहे. 

चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन परस्परांचे `square` असतात.

∠R + ∠N = `square`

∴ (5x - 13)° + (4x + 4)° = `square`

∴ 9x = 189

∴ x = `square`

∴ ∠R = (5x - 13)° = `square`

∴ ∠N = (4x + 4)° = `square`

आकृतीमध्ये, रेख AB हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या व्यास आहे. अंतर्लिखित कोन ACB चा दुभाजक वर्तुळाला बिंदू D मध्ये छेदतो, तर रेख AD ≅ रेख BD हे सिद्ध करा. पुढे दिलल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून ती पूर्ण करा आणि लिहा.

सिद्धता:

रेख OD काढला.

∠ACB = `square` .............[अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित कोन]

∠DCB = `square` ............[रेख CD हा ∠C चा दुभाजक]

m(कंस DB) = `square` ...........[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]

∠DOB = `square` ..............[कंसाच्या मापाची व्याख्या] (i)

रेख OA ≅ रेख OB .............`square` (ii)

∴ रेख OD ही रेख AB ची `square` रेषा आहे. … [(i) व (ii) वरून]

रेख AD ≅ रेख BD

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा,

त्रिज्या XA || त्रिज्या YB

खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.

रचना : रेख XZ आणि YZ काढा.

सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे  `square`

∴ ∠XZA ≅ `square` ............[विरुद्ध कोन]

∠XZA = ∠BZY = p मानू ............ (i)

आता, रेख XA ≅ रेख XZ ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠XAZ = `square` = p ............ (ii) (समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय)

तसेच रेख YB ≅ YZ ..................[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠BZY = `square` = p (iii) [समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]

∴ (i), (ii) व (iii) वरून,

∠XAZ = `square`

∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ................[`square`]

चक्रीय चौकोनाचा बाह्यकोन त्याच्या संलग्न कोनाच्या संमुख कोनाशी एकरूप असतो हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी पुढील कृती पूर्ण करा.

पक्ष: `square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.

`square` `square` ABCD चा बाह्यकोन आहे.

साध्य: ∠DCE ≅ ∠BAD

सिद्धता:

`square` + BCD = `square` ..........[रेषीय जोडीतील कोन] (i) 

`square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.

`square` + ∠BAD = `square` ........[चक्रीय चौकोनाचे प्रमेय] (ii)

∴ (i) व (ii) वरून

∠DCE ≅ ∠BCD = `square` + ∠BAD

∠DCE ≅ ∠BAD

आकृतीत रेख RM आणि रेख RN हे केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचे स्पर्शिका खंड आहेत, तर रेख OR हा ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांचा दुभाजक आहे, हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

सिद्धता:

ΔRMO आणि ΔRNO यांमध्ये,

∠RMO ≅ ∠RNO = 90° ...............[`square`]

कर्ण OR ≅ कर्ण OR …..............[`square`]

बाजू OM ≅ बाजू [`square`]  ..........…[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ΔRMO ≅ ΔRNO ….......[`square`]

∠MOR ≅ ∠NOR

तसेच, ∠MRO ≅ [`square`] ......................[`square`]

∴ रेख OR ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांची दुभाजक आहे.

आकृतीमध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे सपर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो हे दाखवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

सिद्धता:

रेख OB आणि OC काढा. 

l(AB) = r ..........…[पक्ष] (i)

AB = AC ..............`square` (ii)

परंतु, OB = OC = r .............`square` (iii)

∴ (i), (ii) व (iii) वरून

AB = `square` = OB = OC = r

∴ `square`ABOC हा `square` चौकोन आहे.

तसेच, ∠OBA = `square` .........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

एक कोन काटकोन असणारा `square` चौकोन चौरस होतो.

∴ `square`ABOC हा चौरस आहे.

खालील प्रमेय सिद्ध करा:

चक्रीय चाकौनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात.

खालील प्रमेय सिद्ध करा:

वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.

खालील प्रमेय सिद्ध करा:

एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले सर्व कोन एकरूप असतात.

बिंदू O केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेषा l बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळाची त्रिज्या 9 सेमी असेल, तर खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा.

(1) d(O, P) = किती? का?

(2) जर d(O, Q) = 8 सेमी असेल. तर बिंदू Q चे स्थान कोठे असेल?

(3) d(O, R)=15 सेमी असेल तर बिंदू R ची किती स्थाने रेषा l वर असतील? ते बिंदू P किती अंतरावर असतील?

दिलेल्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागातील R या बिंदूपासून काढलेले RM आणि RN हे स्पर्शिकाखंड वर्तुळाला बिंदू M आणि N मध्ये स्पर्श करतात. जर OR = 10 सेमी व वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असेल तर-

(1) प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी किती?

(2) ∠MRO चे माप किती?

(3) ∠MRN चे माप किती?

आकृती मध्ये, जीवा AB ≅ जीवा CD, तर सिद्ध करा - कंस AC ≅ कंस BD

आकृती मध्ये, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा AB ची लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्येएवढी आहे. तर

(1) ∠AOB
(2) ∠ACB
(3) कंस AB आणि
(4) कंस ACB यांची मापे काढा.

आकृतीमध्ये, जीवा LM ≅ जीवा LN आणि ∠L = 35°, तर

i. m(कंस MN) = किती?

ii. m(कंस LN) = किती? 

कोणताही आयत हा चक्रीय चौकोन असतो हे सिद्ध करा.

आकृतीमध्ये, `square`PQRS हा चक्रीय चौकोन आहे. बाजू PQ ≅ बाजू RQ, ∠PSR = 110°, तर ∠PQR = किती?

आकृतीमध्ये, `square`PQRS हा चक्रीय चौकोन आहे. बाजू PQ ≅ बाजू RQ, ∠PSR = 110°, तर m(कंस PQR) = किती?

आकृतीमध्ये, `square`PQRS हा चक्रीय चौकोन आहे. बाजू PQ ≅ बाजू RQ, ∠PSR = 110°, तर m(कंस QR) = किती? 

शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 

सोबतच्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या रेख PQ आणि रेख RS या एकरूप जीवा आहेत. जर ∠POR = 70° आणि m(कंस RS) = 80°, तर -

(1) m(कंस PR) किती?

(2) m(कंस QS) किती?

(3) m(कंस QSR) किती?

दिलेल्या आकृतीत, Q केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या रेख PM आणि PN स्पर्शिका आहेत. जर ∠MPN = 40°, तर ∠MQN चे माप काढा.

आकृतीमध्ये, वर्तुळाच्या दोन जीवा EF आणि GH परस्परांना समांतर आहेत. O वर्तुळकेंद्र असेल, तर ∠EOG ≅ ∠FOH दाखवा.

O केंद्र असलेल्या वर्तुळाचा रेख PQ हा व्यास आहे. बिंदू C मधून काढलेली स्पर्शिका वर्तुळास बिंदू P आणि Q बिंदूंतून काढलेल्या स्पर्शिकांना अनुक्रमे A आणि B बिंदूत छेदतात, तर सिद्ध करा, की ∠AOB = 90°

वर्तुळाच्या जीवा AB आणि CD परस्परांना त्याच वर्तुळाच्या अंतर्भागातील बिंदू M मध्ये छेदतात, तर CM × BD = BM × AC हे सिद्ध करा. 

खालील आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ ΔABC मध्ये अंतर्लिखित असून बाजू AB, बाजू BC व बाजू AC ला अनुक्रमे L, M व N बिंदूत स्पर्श करते. या वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. सिद्ध करा, की : A(ΔABC) = `1/2`(AB + BC + AC) × r

`square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. m(कंस ABC) = 230°. तर ∠ABC, ∠CDA, ∠CBE, यांची मापे काढा.

आकृतीमध्ये, ΔABC हा समद्विभुज त्रिकोण असून त्याची परिमिती 44 सेमी आहे. बाजू AB आणि बाजू BC एकरूप असून पाया AC ची लांबी 12 सेमी आहे. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे एक वर्तुळ तिन्ही बाजूंना स्पर्श करते, तर बिंदू B पासून वर्तुळास काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.

आकृतीमध्ये, ΔABC हा समभुज त्रिकोण आहे. ∠B चा कोनदुभाजक ΔABC च्या परिवर्तुळाला बिंदू P मध्ये छेदत असेल, तर सिद्ध करा: CQ = CA.

सोबतच्या आकृतीत, `square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. m(कंस BC) = 90° आणि ∠DBC = 55°, तर ∠BCD चे माप काढा.

पक्ष: काटकोन ΔABC मध्ये एक वर्तुळ अंतर्लिखित केलेले आहे, ∠ACB = 90°. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे.

साध्य: 2r = a + b – c 

P हा केंद्रबिंदू असलेल्या वर्तुळात जीवा AB ही एका स्पर्शिकेला समांतर आहे आणि स्पर्शबिंदूतून काढलेल्या त्रिज्येला तिच्या मध्यबिंदूत छेदते. जर AB = `16sqrt3`, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 

आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा? 

आकृतीमध्ये, O केंद्र असलेल्या वर्तुळात ∠AOB = 90°, ∠ABC = 30°, तर ∠CAB किती?

आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ O केंद्र असलेल्या अर्धवर्तुळाला Q व C बिंदूंत स्पर्श करते. जर व्यास AB = 10, AC = 6 असेल, तर लहान वर्तुळाची त्रिज्या x किती?

आकृतीमध्ये, `square`ABCD च्या बाजूंना आतून स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाचा केंद्र O आहे. जर AD ⊥ DC तसेच BC= 38, QB = 27, DC = 25 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

दोन असमान (भिन्न) त्रिज्यांच्या वर्तुळांमध्ये जर AB आणि CD त्यांच्या सामाईक स्पर्शिका असतील, तर रेख AB ≅ रेख CD दाखवा.

बिंदू A, B आणि C केंद्र असलेली तीन वर्तुळे परस्परांना बाहेरून स्पर्श करतात. जर AB = 36, BC = 32 आणि CA = 30 असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या काढा.