Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दोन अंतर्स्पर्शी वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 3.5 सेमी व 4.8 सेमी आहेत, तर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर किती आहे?
उत्तर
समजा, बिंदू P व Q केंद्रबिंदू असलेली अंतर्स्पर्शी वर्तुळे परस्परांना R बिंदूत स्पर्श करतात.
येथे, QR = 3.5 सेमी, PR = 4.8 सेमी
दोन्ही वर्तुळे अंतर्स्पर्शी आहेत.
∴ स्पर्शवर्तुळाच्या प्रमेयानुसार,
P-Q-R
PQ = PR - QR ......[अंतर्स्पर्शी वर्तुळांच्या केंद्रांतील अंतर हे त्यांच्या त्रिज्यांच्या वजाबाकीएवढे असते.]
= 4.8 - 3.5
= 1.3 सेमी
∴ दिलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांतील अंतर 1.3 सेमी आहे.
संबंधित प्रश्न
बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 5.5 सेमी व 4.2 सेमी असतील तर त्यांच्या केंद्रांतील अंतर किती असेल?
प्रत्येकी 3 सेमी त्रिज्येची, केंद्र A, B व C असणारी तीन वर्तुळे अशी काढा, की प्रत्येक वर्तुळ इतर दोन वर्तुळांना स्पर्श करेल.
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र C असलेेले वर्तुळ केंद्र D असलेल्या वर्तुळाला बिंदू E मध्ये आतून स्पर्श करते. बिंदू D हा आतील वर्तुळावर आहे. बाहेरील वर्तुळाची जीवा EB ही आतील वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, की रेख EA ≅ रेख AB.
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा,
त्रिज्या XA || त्रिज्या YB
खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.
रचना : रेख XZ आणि YZ काढा.
सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे `square`
∴ ∠XZA ≅ `square` ............[विरुद्ध कोन]
∠XZA = ∠BZY = p मानू ............ (i)
आता, रेख XA ≅ रेख XZ ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ ∠XAZ = `square` = p ............ (ii) (समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय)
तसेच रेख YB ≅ YZ ..................[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ ∠BZY = `square` = p (iii) [समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]
∴ (i), (ii) व (iii) वरून,
∠XAZ = `square`
∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ................[`square`]
