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प्रश्न
बिना वास्तविक विभाजन के सिद्ध कीजिए कि x2 – 3x + 2 से 2x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2 विभाज्य है। [संकेत: x2 – 3x + 2 के गुणनखंड कीजिए]
उत्तर
मान लीजिए p(x) = 2x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2 सर्वप्रथम, x2 – 3x + 2 के गुणनखंड कीजिए।
अब, x2 – 3x + 2 = x2 – 2x – x + 2 ...[मध्य पद को विभाजित करके]
= x(x – 2) – 1(x – 2) = (x – 1)(x – 2)
अत:, x2 – 3x + 2 का 0 = 1 और 2 है।
हमें सिद्ध करना है कि, 2x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2, x2 – 3x + 2 से विभाज्य है, अर्थात् हमें सिद्ध करना है कि p(1) = 0 और p(2) = 0
अब, p(1) = 2(1)4 – 5(1)3 + 2(1)2 – 1 + 2
= 2 – 5 + 2 – 1 + 2
= 6 – 6
= 0
और p(2) = 2(2)4 – 5(2)3 + 2(2)2 – 2 + 2
= 2x16 – 5x8 + 2x4 + 0
= 32 – 40 + 8
= 40 – 40
= 0
अत:, p(x), x2 – 3x + 2 से विभाज्य है।
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