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प्रश्न
छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए प्रेक्षण x1, x2, x3, x4, x5 और x6 हैं
यह दिया गया है कि माध्य 8 है तथा मानक विचलन 4 है।
⇒ माध्य = `overline x = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6)/6 = 8` ....(i)
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाए और परिणामी प्रेक्षण yi हो, तो
yi = 3xi, i = 1 से 6 के लिए
∴ नया माध्य `overline y = (y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6)/6`
= `(3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6))/6`
= 3 × 8 .....[(i) का प्रयोग करके]
= 24
मानक विचलन σ = `sqrt(1/n sum_(i = 1)^6 (x_ i - overline x)^2)`
∴ `(4)^2 = 1/6 sum_(i = 1)^6(x_ i - overline x)^2`
`sum_(i = 1)^6(x_ i - overline x)^2 = 96` ...(ii)
(i) और (ii) से यह देखा जा सकता है कि,
`overline y = 3overline x`
`overline x = 1/3 overliney`
(ii) में xi और `overline x` के मानों को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं
`sum_(i = 1)^6(1/3 y_i - 1/3 overline y)^2 = 96`
⇒ `sum_(i = 1)^6 (y - overline y)^2 = 864`
इसलिए, नए प्रेक्षण का प्रसरण = `(1/6 xx 864) = 144`
अतः परिणामी प्रेक्षण का मानक विचलन `sqrt144 = 12` है।
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