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प्रश्न
दर्शाइए कि मूल बिन्दु से जाने वाली और रेखा y = mx + c से θ कोण बनाने वाली उस रेखा का समीकरण `"y"/"x" = ±("m" + tan θ)/(1 - "m" tan θ)` हैं।
उत्तर
रेखा PA का समीकरण y = mx + c है
यह रेखा OP के साथ कोण θ बनाती है।
रेखा PA की ढाल = m
मान लीजिए OP की ढाल = m1 है।
अब tan θ = ± `("m"_1 - "m")/(1 + "m"_1"m")`, जहाँ m = tan θ
+ve चिन्ह लेने पर, tan θ = ± `("m"_1 - "m")/(1 + "m"_1"m")`
या `(1 + "m"_1"m")tan θ = "m"_1 - "m"`
या tan θ + m1 m tan θ = m1 - m
या m + tan θ = m(1 - m tan θ)
या `"m"_1 = ("m" + tan θ)/(1 - "m" tan θ)`
-ve चिन्ह लेने पर,
`"m"_1 = ("m" + tan θ)/(1 - "m" tan θ)`
`(- 1 + "m"_1"m") tan θ = "m"_1 - "m"`
या (1 + m1m) tan θ = −m1 + m
m1(1 + m tan θ) = m − tan θ
∴ `"m"_1 = ("m" - tan θ)/(1 + "m" tan θ)`
इसलिए दोनों ढालों को `("m" ± tan θ)/(1 "m" ± tan θ)` से दर्शाया जाता है।
∴ मूल बिंदु (0, 0) से जाने वाली रेखा का समीकरण,
(y - 0) = m1 (x - 0)
y =m1 × x
या `"y"/"x" = "m"_1`
∴ अभीष्ट रेखाओं का समीकरण
`"y"/"x" = ("m" ± tan θ)/(1 ± tan θ)`
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