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प्रश्न
समांतर रखाओं 9x + 6y – 7 = 0 और 3x + 2y + 6 = 0 से समदूरस्थ रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दी गई रेखाओं के समीकरण हैं
9x + 6y – 7 = 0 …(1)
3x + 2y + 6 = 0 …(2)
मान लीजिए P (h, k) एक स्वेच्छ बिंदु है जो रेखाओं (1) और (2) से समान दूरी पर है। रेखा (1) से P (h,k) की लंबवत दूरी निम्न द्वारा दी गई है
`d_1 = |9h + 6k - 7|/((9)^2 + (6)^2) = |9h + 6k - 7|/sqrt117 = |9h + 6k - 7|/(3sqrt13)`
रेखा (2) से P (h, k) की लांबिक दूरी निम्न द्वारा दी गई है
`d_1 = |3h + 2k + 6|/((3)^2 + (2)^2) d_1 = |3h + 2k + 6|/sqrt13`
चूँकि P (h, k) रेखा (1) और (2) से समान दूरी पर है, d1 = d2
= `|9h + 6k - 7|/(3sqrt13) = |3h + 2k + 6|/sqrt13`
= |9h + 6k - 7| = 3|3h + 2k + 6|
= |9h + 6k - 7| = ±3|3h + 2k + 6|
= 9h + 6k - 7 = 3(3h + 2k + 6) या 9h + 6k - 7 = -3 (3h + 2k + 6)
स्थिति 9h + 6k - 7 = 3 (3h + 2k + 6) संभव नहीं है क्योंकि
9h + 6k - 7 3(3h + 2k + 6) = -7 = 18 (जो असंगत है)
∴ 9h + 6k - 7= -3(3h + 2k + 6)
9h + 6k - 7 = - 9h - 6k - 18
= 18h + 12k + 11 = 0
इस प्रकार, रेखा का अभीष्ट समीकरण 18x + 12y + 11 = 0 है।
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