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प्रश्न
एक अंकगणितीय श्रृंखला मेंं 37 पद हैं। सबसे मध्य के तीन पदों का योगफल 225 है और अंतिम तीन पदों का योगफल 429 हो तो अंकगणितीय श्रृंखला लिखिए।
उत्तर
दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में 37 पद हैं।
∴ n = 37
∴ इस श्रृंखला का मध्य पद = `("n" + 1)/2 = (37 + 1)/2 = 38/2` = 19
∴ इस श्रृंखला का 19 वाँ पद सबसे मध्य में हैं।
∴ इस श्रृंखला में 18, 19, 20 क्रमिक पद सबसे मध्य में हैं।
∴ दी गई शर्त के आधार पर,
(t18) + (t19) + (t20) = 225
सूत्र tn = a + (n − 1)d का उपयोग करने पर,
t18 = a + (18 − 1)d = a + 17d
t19 = a + (19 − 1)d = a + 18d
t20 = a + (20 − 1)d = a + 19d
∴ (a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225
∴ 3a + 54d = 225
∴ a + 18d = 75 ..............(I) (प्रत्येक पद में 3 से भाग देने पर)
अब, इस श्रृंखला में 37 पद हैं।
∴ इस श्रृंखला में 35, 36 तथा 37 वें क्रम के पद, अंतिम 3 पद हैं।
∴ दी गई शर्त के आधार पर,
(t35) + (t36) + (t37) = 429
t35 = a + (35 − 1)d = a + 34d
t36 = a + (36 − 1)d = a + 35d
t37 = a + (37 − 1)d = a + 36d
∴ (a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429
∴ 3a + 105d = 429
∴ a + 35d = 143 ........(II) (प्रत्येक पद में 3 से भाग देने पर)
समीकरण (III) में से समीकरण (II) घटाने पर,
a + 35d = 143 ........(II)
− a + 18d = 75 ..............(I)
− − −
17d = 68
∴ d = 4
d = 4 यह मान समीकरण (I) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 18d = 75
∴ a + 18 × 4 = 75 .........(मान प्रतिस्थापित करने पर)
∴ a = 75 − 72 = 3
∴ पहला पद = a = t1 = 3
दूसरा पद = t2 = t1 + d = 3 + 4 = 7
तीसरा पद = t3 = t2 + d = 7 + 4 = 11
तथा 37 वाँ पद = a + 36d
= 3 + 36 × 4
= 3 + 144
= 147
∴ दी गई अंकगणितीय श्रृंखला 3, 7, 11, 15, ..., 147 है।
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