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प्रश्न
जिस अंकगणितीय श्रृंखला का प्रथम पद a, दूसरा पद b और अंतिम पद c हो तो उस श्रृंखला के सभी पदों का योगफल `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/2 ("b" - "a")` है सिद्ध कीजिए।
उत्तर
उपपत्ति: यहाँ पर पहला पद = t1 = a तथा दूसरा पद = t2 = b दिया गया है।
∴ सामान्य अंतर = d = t2 − t1 = (b − a)
इस अंकगणितीय श्रृंखला में कुल कितने पद हैं, ज्ञात करेंगे।
माना, कुल n पद हैं।
इस श्रृंखला का अंतिम पद (n वाँ पद) यह c दिया है।
∴ tn = c
प्राप्त सभी मान नीचे दिए गए सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,
tn = a + (n − 1)d .........(सूत्र)
∴ c = a + (n − 1) × (b − a) .......(मान प्रतिस्थापित करने पर)
∴ c − a = (n − 1) × (b − a)
∴ `("c" - "a")/("b" - "a")` = n − 1
∴ n = `("c" - "a")/("b" − "a") + 1 = ("c" − "a" + "b" - "a")/("b" − "a") = ("c" + "b" - "2a")/("b" - "a")`
∴ इस श्रृंखला के पदों की संख्या = n = `("b" + "c" - 2"a")/("b" - "a")`
अब, इस श्रृंखला के n पदों का योगफल नीचे दिए गए सूत्र से ज्ञात करेंगे।
Sn = `"n"/2` [t1 + tn]
= `((("b" + "c" - 2"a")/(("b" - "a"))))/2 ["a" + "c"]`
= `("b" + "c" - 2"a")/(2("b" - "a")) ("a" + "c")`
∴ Sn = `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/(2("b" - "a"))`
∴ इस श्रृंखला के पदों का योगफल `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/(2("b" - "a"))` है।
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2 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(1000 xx 10 xx 2)/100` = `square`
3 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(square xx square xx square)/100` = 300
इस प्रकार 4, 5, 6 वर्षों के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज क्रमश: 400, `square`, `square` होगा।
इस संख्या के आधार पर d = `square`, और a = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज
tn = a + (n − 1)d
t20 = `square` + (20 − 1) `square`
t20 = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त कुल ब्याज = `square`
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