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प्रश्न
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकंड बाद 6 इकाई है, तो t सेकंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर
`V = 4/3 pir^3` ....(1)
(1) का विभेदन करने पर, हम पाते हैं।
`(dV)/dt = 4pir^2 (dr)/dt`
अब, `(dV)/dt = a`
⇒ `4pir^2 = (dr)/dt = a` ....(2)
दोनों पक्षों (2) को एकीकृत करने पर, हम पाते हैं,
⇒ `int 4 pi r^2 dr = int a dt`
⇒ `4pi r^3/3 = at + C`
जब t = 0, r = 3
∴ `(4pi (3)^3)/3 = C`
⇒ C = 36π
∴ `(4 pir^3)/3 = at + 36 pi`
जब t = 3, r = 6 then
`(4pi(6)^3)/3 = 3a + 36 pi`
⇒ `(4pi xx 36 xx 6)/3`
= 3a + 36π
⇒ 288π = 3a + 36π
⇒ 96π = a + 12π
⇒ a = 84π
अत:, `(4pir^3)/3 = 84pi t + 36 pi`
⇒ `(4r^3)/3 = 84t + 36`
⇒ `r^3/3 = 21t + 9`
⇒ `r^3 = 63t + 27`
⇒ `r = (63t + 27)^(1/3)`
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