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प्रश्न
फलन का समाकलन कीजिए।
`(5x + 3)/sqrt(x^2 + 4x + 10)`
उत्तर
माना `I =int (5x +3)/ sqrt (x^2 + 4x + 10) dx`
5x + 3 रखने पर,
`= A [d/dx (x^2 + 4x + 10)] +B`
5x + 3
= A (2x + 4) + B ... (i)
(i) में x के गुणांक की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है।
5 = 2A
⇒ A = `5/2`
(i) में स्थिर पदों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है।
3 = 4A + B
⇒ B = -7
`I = int (5/2 (2x + 4) + (-7))/ sqrt (x^2 + 4x + 10) dx`
`= 5/2 int (2x + 4)/sqrt (x^2 + 4x + 10) dx - 7 int dx/ sqrt (x^2 + 4x + 10)`
`= 5/2 I_1 - 7I_2`
∴ `I = 5/2 I_1 - 7I_2` ....(ii)
अब, `I_1 = int (2x + 4)/ sqrt (x^2 + 4x + 10) dx`
x2 + 4x + 10 = t रखने पर,
⇒ (2x + 4) dx = dt
∴ `I_1 = int dt/sqrtt`
`= int t^(-1/2) dt = 2 sqrtt`
`= 2 sqrt (x^2 + 4x + 10) + C_1` ....(iii)
और `I_2 = int dx/ sqrt(x^2 + 4x + 10) `
`= int dx / sqrt((x + 2)^2 + (sqrt( 6))^2`
`= log |x + 2 + sqrt ((x + 2)^2 + (sqrt (6))^2)|`
`= log |x + 2 + sqrt (x^2 + 4x + 10)| + C_2` ....(iv)
अतः (ii), (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है।
`I = 5 sqrt (x^2 + 4x + 10) - 7 log |x + 2 + sqrt (x^2 + 4x + 10)| + C`
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