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प्रश्न
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन एवं प्रोटॉन के मध्य गुरुत्वाकर्षण, कूलॉम-आकर्षण से लगभग 10-40 के गुणक से कम है। इस तथ्य को देखने का एक वैकल्पिक उपाय यह है कि यदि इलेक्ट्रॉन एवं प्रोटॉन गुरुत्वाकर्षण द्वारा सम्बद्ध हों तो किसी हाइड्रोजन परमाणु में प्रथम बोर कक्षा की त्रिज्या का अनुमान लगाइए। आप मनोरंजक उत्तर पाएँगे।
उत्तर
माना इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान me व प्रोटॉन का द्रव्यमान mp है।
तब गुरुत्वाकर्षण बल `"F"_"G" = "G"(m_"p" xx m_"e")/"r"_"n"^2`
जहाँ rn, n वीं कक्षा की त्रिज्या है।
यह बल इलेक्ट्रॉन को आवश्यक अभिकेन्द्र बल देता है।
अतः `("m"_"e"v_"n"^2)/"r"_"n" = "G" (m_"p" xx m_"e")/"r"_"n"^2` [vn = n वीं कक्षा में चाल]
`=> "m"_"e""v"_"n"^2"r"_"n" = "Gm"_"p" xx "m"_"e"` ...(1)
बोर मॉडल के अनुसार, `"m"_"e""v"_"n""r"_"n" = "n" "h"/(2pi)`
वर्ग करने पर, `"m"_"e"^2 "v"_"m"^2 "r"_"n"^2 = ("n"^2"h"^2)/(4pi^2)` ...(2)
समीकरण (2) को (1) से भाग देने पर,
`"m"_"e""r"_"n" = ("n"^2"h"^2)/(4pi^2) xx 1/("Gm"_"p" xx "m"_"e")`
`therefore "r"_"n" = ("n"^2"h"^2)/(4pi^2 "Gm"_"p" "m"_"e"^2)`
या `"r"_"n" = ("n"^2/"m"_"e")("h"/(2pi))^2 xx 1/("Gm"_"p" "m"_"e")`
∴ n = 1 रखने पर प्रथम बोर कक्षा की त्रिज्या
`"r"_1 = 1/"m"_"e" xx ("h"/(2pi))^2 xx 1/("Gm"_"p" xx "m"_"e")` ...(3)
यदि इलेक्ट्रॉन व प्रोटॉन स्थिर विद्युत बलों से बंधे हों तो
`"r"_1 = 1/"m"_"e" ("h"/(2pi))^2 * (4piepsilon_0)/(e xx e)` ...(4)
इस प्रकार समीकरण (3) व (4) की तुलना करने पर हम देखते है कि यदि हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर विद्युत बल `(("e" xx "e")/(4 pi epsilon_0 "r"^2))` के स्थान पर गुरुत्वीय बल `("G" ("m"_"p" xx "m"_"e")/"r"^2)` कार्यरत हो तो प्रथम बोर कक्षा की त्रिज्या ज्ञात करने के r1 में `("e"^2/(4 pi epsilon_0"r"^2))` के स्थान पर `(("Gm"_"p" xx "m"_"e")/"r"^2)` रखना चाहिए।
∵ G = 6.67 × 10-11 Nm2/kg2, me = 9.1 × 10-31 kg, mp = 9.1 × 10-27 kg
h = 6.62 × 10-34 Js समीकरण (2) में रखने पर,
`"r"_1 = 1/(9.1 xx 10^-31) xx ((6.62 xx 10^-34)/(2 xx 3.14))^2 xx 1/(6.67 xx 10^-11 xx 1.67 xx 10^-27 xx 9.1 xx 10^-31)`
= 1.21 × 1029 m
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