Question

If the roots of the equation (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0 are real and equal prove that either a = 0 (or) a³ + b³ + c³ = 3abc

Answer 1

(c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0

Here a = c² – ab; b = – 2(a² – bc); c = b² – ac

Since the roots are real and equal

∆ = b² – 4ac

[– 2(a² – bc)]² – 4(c² – ab) (b² – ac) = 0

4(a² – bc)² – 4[c² b² – ac³ – ab³ + a²bc] = 0

Divided by 4 we get

(a² – bc)² – [c² b² – ac³ – ab³ + a²bc] = 0

a⁴ + b² c² – 2a² bc – c²b² + ac³ + ab³ – a²bc = 0

a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc = 0

= a(a³ + b³ + c³) = 3a²bc

a³ + b³ + c³ = ${\displaystyle \frac{3{\text{a}}^2\text{bc}}{\text{a}}}$

a³ + b³ + c³ = 3abc

Hence it is proved