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प्रश्न
मान लीजिए कि A, B और C समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
उत्तर
हम पहले सिद्ध करेंगे कि A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
मान लीजिए कि x ∈ A ∪ (B ∩ C), तो
x ∈ A या x ∈ B ∩ C
⇒ x ∈ A या (x ∈ B और x ∈ C)
⇒ (x ∈ A या x ∈ B) और (x ∈ A या x ∈ C)
⇒ (x ∈ A ∪ B) और (x ∈ A ∪ C)
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
अतः A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ......(1)
अब हम सिद्ध करेंगे कि (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ (A ∪ C)
मान लीजिए कि x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
⇒ x ∈ A ∪ B और x ∈ A ∪ C
⇒ (x ∈ A या x ∈ B) और (x ∈ A या x ∈ C)
⇒ x ∈ A या (x ∈ B और x ∈ C)
⇒ x ∈ A या (x ∈ B ∩ C)
⇒ x ∈ A ∪ (B ∩ C)
अतः (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C) ......(2)
अतएव (1) तथा (2) से
A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
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