Question

सभी समुच्चयों A, B तथा C के लिए क्या (A – B) ∩ (C – B) = (A ∩ C) – B है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

Answer 1

हाँ।

मान लीजिए कि x ∈ (A – B) ∩ (C – B)

⇒ x ∈ A – B और x ∈ C – B

⇒ (x ∈ A और x ∉ B) और (x ∈ C और x ∉ B)

⇒ (x ∈ A और x ∈ C) और x ∉ B

⇒ (x ∈ A ∩ C) और x ∉ B

⇒ x ∈ (A ∩ C) – B

अतएव (A – B) ∩ (C – B) ⊂ (A ∩ C) – B   ......(1)

विलोमतः (conversely),

मान लीजिए कि y ∈ (A ∩ C) – B

⇒ y ∈ (A ∩ C) और y ∉ B

⇒ (y ∈ A और y ∈ C) और (y ∉ B)

⇒ (y ∈ A और y ∉ B) और (y ∈ C और y ∉ B)

⇒ y ∈ (A – B) और y ∈ (C – B)

⇒ y ∈ (A – B) ∩ (C – B)

अतएव (A ∩ C) – B ⊂ (A – B) ∩ (C – B)  ......(2)

(1) तथा (2) द्वारा (A – B) ∩ (C – B) = (A ∩ C) – B