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प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
ex tan y dx + (1 - ex) sec2 y dy = 0
उत्तर
हमारे पास है, ex tan y dx + (1 - ex) sec2 y dy = 0 या ex tan y dx = -(1 - ex) sec2 y dy
⇒ `e^x/(1 - e^x) dx = (-sec^2y)/(tany) dy` ...(1)
दोनों पक्षों (1) को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
`int(e^x)/(1 - e^x) dx = - int(sec^2 y)/(tan y) dy`
माना `I_1 = int e^x/(1 - e^x) dx`
और `I_2 = int(sec^2y)/(tan y) dy`
अब, `I_1 = int e^x/(1 - e^x) dx`
∴ 1- ex = t रखने पर,
⇒ -ex dx = dt
`I_1 = int (-dt)/t = -log |t| - log C_1`
`= - log (t C_1) = -log ((1 - e^x)C_1)` ....(2)
अब, `I_2 = int (sec^2 y)/(tan y) dy`
∴ tan y = t रखने पर,
⇒ sec2 y dy = dt
`I_2 = int dt/t = log |t| + log C_2`
`= log |tany| + log C_2`
= log (C2 tan y)
इसके अलावा I1 = -I2
⇒ - log (C1 (1 - ex))
= - log (C2 tan y)
⇒ C1 (1 - ex) = C2 tan y
⇒ tan y = C (1 - ex)
आवश्यक समाधान है।
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