Question

प्रश्न में प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`(log x)^x + x^log x`

Answer 1

माना y = (log x)^x + x^{log x}

पुनः माना y = u + v

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx`   ....(1)

अब, u = (log x)^x

दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,

log v = log (log x)^x = x log (log x)         ...[∵ log mⁿ = n log m]

दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,

`1/u (du)/dx = x d/dx log (log x) + log (log x) d/dx (x)`

`= x * 1/(log x) d/dx (log x) + log (log x) xx 1`

`= x * 1/(log x) 1/x + log (log x) = 1/(log x) + log (log x)`

`therefore (du)/dx = u [log (log x) + 1/(log x)] = (log x)^x [log (log x) + 1/log x]`

तथा v = `x^(log x)`

दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर,

log v = log x^{log x} = log x log x = (log x)²

दोनों पक्षों का x के साक्षेप अवकलन करने पर,

`1/v (dv)/dx = d/dx (log x)^2 = 2  log x  d/dx  log x = (2  log x)/x`

`therefore (dv)/dx = v (2/x log x) = 2/x (x^(log x) log x)`

समीकरण (1) से,

`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx` 

`∴ dy/dx = (logx^x) [1/logx + (logx)] + x^(log x) [(2 log x)/x]`