Question

प्रश्न में प्रदत्त फलन के लिए ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$  ज्ञात कीजिए:

y^x = x^y

Answer 1

दिया है, y^x = x^y

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log y^x = log x^y

x log y = y log x

दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

${\displaystyle \Rightarrow x\frac{d}{dx}\log y+\log y\frac{d}{dx}\left(x\right)}$

${\displaystyle =y\frac{d}{dx}\log x+\log x\frac{d}{dx}y}$

${\displaystyle \Rightarrow x\times \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}+\log y\times 1=y \times \frac{1}{x}+\log x\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} +\log y=\frac{y}{x}+\log x\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} -\log x\frac{dy}{dx} =\frac{y}{x}-\log y}$ 

${\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx} (\frac{x}{y} -\log x)=\frac{y}{x}-\log y}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx} (x^2-xy\log x)=y^2-xy\log y}$   xy से गुणा करने पर,

${\displaystyle \therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y^2-xy\log y}{x^2-xy\log x}}$