Question

सिद्ध कीजिए कि ${\displaystyle 3+2\sqrt{5}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 1

यदि संभव हो तो a = 3 + 2${\displaystyle \sqrt{5}}$ को एक परिमेय संख्या मान लें।

हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि ${\displaystyle 3+2\sqrt{5}=\frac{a}{b},}$ जहाँ b ≠ 0

${\displaystyle \frac{a-3b}{b}}$

= ${\displaystyle 2\sqrt{5}}$

= ${\displaystyle \frac{a-3b}{2b}}$

= ${\displaystyle \sqrt{5}}$

∵ a और b पूर्णांक हैं,

∴ ${\displaystyle \frac{a-3b}{2b}}$

= ${\displaystyle \frac{\text{पूर्णांक - 3 (पूर्णांक)}}{\text{2 पूर्णांक}}}$

= ${\displaystyle \frac{a-3b}{2b}}$ परिमेय है।

= (1) से, ${\displaystyle \sqrt{5}}$ परिमेय है।

= लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि ${\displaystyle \sqrt{5}}$ परिमेय है।

∴ हमारा अनुमान गलत है।

अतः ${\displaystyle 3+2\sqrt{5}}$ अपरिमेय है।

Answer 2

इसके विपरीत मान लीजिए कि ${\displaystyle 3+2\sqrt{5}}$ एक परिमेय संख्या है।

हम किसी भी परिमेय संख्या को ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और b ≠ 0 है।

इसलिए,

${\displaystyle \frac{a}{b}=3+2\sqrt{5}}$

और a तथा b को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |

अतः ${\displaystyle 3+2\sqrt{5}=\frac{a}{b}}$

या ${\displaystyle 2\sqrt{5}=\frac{a}{b}-3}$

या ${\displaystyle 2\sqrt{5}=\frac{a-3b}{b}}$

या ${\displaystyle \sqrt{5}=\frac{a-3b}{2b}}$

चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है।

इसलिए ${\displaystyle \frac{a-3b}{2b}}$ एक परिमेय संख्या है जबकि वाया पक्ष ${\displaystyle \sqrt{5}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि ${\displaystyle \sqrt{5}}$ 

परिमेय संख्या है।

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि ${\displaystyle 3+2\sqrt{5}}$ एक परिमेय संख्या है।

अतः ${\displaystyle 3+2\sqrt{5}}$ एक अपरिमेय संख्या है।