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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योगफल उस चतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।
उत्तर
(i) `square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
(ii) विकर्ण AC तथा विकर्ण BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेदित करते है |
साध्य : AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
उपपत्ति :
`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है | ........(दत्त)
∴ `{:(therefore "CD" = "AB",...(1)), ("AD" = "BC", ...(2)):}}` ...(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
तथा `{:("AO" = "OC" = 1/2"AC",....(3)), ("BO" = "OD" = 1/2"BD", ....(4)):}}` ...(समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते है |)
∴ AB2 + BC2 = `2(1/2"BD")^2 + 2(1/2"AC")^2` ...[(3) और (4) से]
∴ AB2 + BC2 = `2 xx 1/4"BD"^2 + 2 xx 1/4"AC"^2`
∴ AB2 + BC2 = `1/2"BD"^2 + 1/2"AC"^2`
दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर,
2AB2 + 2BC2 = BD2 + AC2
∴ AB2 + AB2 + BC2 + BC2 = BD2 + AC2
∴ AB2 + CD2 + BC2 + AD2 = BD2 + AC2 ...[(1) और (2) से]
∴ AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = BD2 + AC2 या
∴ AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2.
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