Question

सिद्ध कीजिए कि, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योगफल उस चतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।

Answer 1

 

(i) `square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |

(ii) विकर्ण AC तथा विकर्ण BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेदित करते है |

साध्य : AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² 

उपपत्ति :

`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है | ........(दत्त)

∴ `{:(therefore "CD" = "AB",...(1)), ("AD" = "BC",  ...(2)):}}`    ...(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

तथा  `{:("AO" = "OC" = 1/2"AC",....(3)), ("BO" = "OD" = 1/2"BD", ....(4)):}}`     ...(समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्‌विभाजित करते है |)

ΔABC में,

रेख BO माध्यिका है |       ...(परिभाषा से)

∴ अपोलोनियस के प्रमेय से,

AB² + BC² = 2BO² + 2OC²

∴ AB² + BC² = `2(1/2"BD")^2 + 2(1/2"AC")^2`       ...[(3) और (4) से]

∴ AB² + BC² = `2 xx 1/4"BD"^2 + 2 xx 1/4"AC"^2`

∴ AB² + BC² = `1/2"BD"^2 + 1/2"AC"^2`

दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर, 

2AB² + 2BC² = BD² + AC²

∴ AB² + AB² + BC² + BC² = BD² + AC²

∴ AB² + CD² + BC² + AD² = BD² + AC²    ...[(1) और (2) से] 

∴ AB² + BC² + CD² + AD² = BD² + AC² या

∴ AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².