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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
उत्तर
माना हम केंद्र O वाले एक वृत्त पर विचार करें। मान लीजिए कि AB एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को P पर स्पर्श करती है।
हमें यह सिद्ध करना है कि AB पर P पर लंबवत रेखा O केंद्र से होकर गुजरती है।
मान लीजिए कि AB पर P पर लम्ब, O से होकर नहीं जाता है। मान लीजिए कि यह एक अन्य बिंदु O से होकर जाता है। OP और OP को मिलाएं।
चूँकि AB पर P पर लम्ब O' से होकर गुजरता है, इसलिए,
∠OPB = 90° … (1)
O वृत्त का केंद्र है और P संपर्क बिंदु है। हम जानते हैं कि केंद्र को मिलाने वाली रेखा और वृत्त की स्पर्शरेखा से संपर्क बिंदु एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
∴ ∠OPB = 90° … (2)
समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
∠OPB = ∠OPB … (3)
चित्र से यह देखा जा सकता है कि,
∠OPB < ∠OPB … (4)
इसलिए, OPB = OPB संभव नहीं है।
इसलिए, AB पर P से होकर जाने वाला लम्ब, O के केंद्र से होकर जाता है।
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