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प्रश्न
आकृति में XY तथा X'Y', O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90°
उत्तर १
मान लिजीये कि दी गई आकृति में O तथा C को मिलाया गया,
Δ OPA और Δ OCA में,
OP = OC ...(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
AP = AC ......(बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)
AO = AO ....(उभयनिष्ठ भुजा)
ΔOPA ≅ ΔOCA (समरूपता के आधार पर)
इसलिए, P ↔ C, A ↔ A, तथा O ↔ O
∠POA = ∠COA … (i)
इसी प्रकार, ΔOQB ≅ ΔOCB
∠QOB = ∠COB … (ii)
दी गई आकृत्ति में, POQ वृत्त का व्यास है, इसलिए यह एक सीधी रेखा है।
इसलिए, ∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180º
समीकरण (i) और (ii) से, यह देखा जा सकता है कि,
2∠COA + 2 ∠COB = 180º
∠COA + ∠COB = 90º
∠AOB = 90°
उत्तर २
मान लिजीये कि दी गई आकृति में O तथा C को मिलाया गया
Δ OPA और Δ OCA में,
OP = OC
[∵ OP और OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]
AP और AC एक ही बिन्दु A से एक ही वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ है।
अत:, AP = AC
AO = AO
[दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है]
अत: SSS समरूपता के आधार पर
ΔOPA ≅ ΔOCA
अत:, ∠POA = ∠COA .....(i)
उसी तरह, Δ OQB ≅ Δ OCB
अत:, ∠ QOB = ∠ COB ...(ii)
दी गई आकृत्ति में, POQ वृत्त का व्यास है, अर्थात POQ एक सरल रेखा है।
अत:, ∠POA + ∠COA + ∠ COB + ∠ QOB = 180°
⇒ ∠COA + ∠ COA + ∠COB + ∠QOB = 180°
[∵ समीकरण (i) के अनुसार ∠ POA = ∠ COA]
⇒ 2 ∠COA + + ∠ COB + ∠ QOB = 180°
⇒ 2 ∠COA + + ∠COB + ∠COB = 180°
[∵ समीकरण (ii) के अनुसार ∠ QOB = ∠ COB]
⇒ 2 ∠COA + 2 ∠COB = 180°
⇒ ∠COA + ∠COB = `180/2` = 90°
अब चूँकि, ∠AOB = ∠COA + ∠COB
∴ ∠AOB = 900
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