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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि यदि वृत्त का व्यास दो जीवाओं को समद्विभाजित करता हो तो वे जीवाएँ परस्पर समांतर होती हैं।
उत्तर
दत्त:
- वृत्त जिसका केंद्र O है।
- रेख PQ व्यास है।
- व्यास PQ जीवा AB और CD को क्रमशः बिंदु M और N पर समद्विभाजित करता है।
साध्य: जीवा AB || जीवा CD
उपपत्ति:
बिंदु M, जीवा AB का मध्यबिंदु है। ...(दत्त)
∴ रेख OM ⊥ जीवा AB ...(वृत्त के केंद्र तथा जीवा के मध्यबिंदु को मिलाने वाली रेखाखंड, जीवा पर लंब होती है।)
∴ ∠OMA = 90° ...(i)
बिंदु N, जीवा CD का मध्यबिंदु है। ...(दत्त)
∴ रेख ON ⊥ जीवा CD ...(वृत्त के केंद्र तथा जीवा के मध्यबिंदु को मिलाने वाली रेखाखंड, जीवा पर लंब होती है।)
∴ ∠ONC = 90° ...(ii)
अब, ∠OMA + ∠ONC = 90° + 90° ...[(i) तथा (ii) से]
∠OMA + ∠ONC = 180°
लेकिन, ∠OMA और ∠ONC रेखाओं AB और CD पर आंतरिक कोणों की एक जोड़ी बनाते हैं, जब रेख MN उनकी तिर्यक रेखा है।
∴ जीवा AB || जीवा CD ...(समांतरता की अंतःकोण कसौटी से)
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