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प्रश्न
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि an – bn का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।
[ संकेत: an = (a – b + b)n लिखकर प्रसार कीजिए।]
उत्तर
यह साबित करने के लिए कि (a – b) (an – bn) का एक गुणनखंड है, यह साबित करना होगा कि an – bn = k (a – b), जहां k कुछ प्राकृतिक संख्या है।
इसे लिखा जा सकता है कि, a = a – b + b
∴ an = (a - b + b)n = [(a - b) + b]n
= nC0 (a - b)n + nC1 (a - b)n - 1 b + ... + nCn- 1 (a - b)bn - 1 + nCnbn
= (a - b)n + nC1 (a - b)n - 1 + b + ... + nCn - 1 (a - b) bn - 1+ bn
= an - bn = (a - b)[(a - b)n - 1+nC1(a - b)n - 2 b + ... + nCn - 1 bn - 1]
= an - bn = k (a - b)
जहाँ, k = [(a - b)n - 1 + nC1(a - b)n - 2 b + ... + nCn - 1bn - 1] एक प्राकृतिक संख्या है
इससे पता चलता है कि (a - b) (an - bn) का एक गुणनखंड है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
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