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प्रश्न
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिक Δ = `[(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)] = 0` हो तो दर्शाइए कि या तो a + b + c = 0 या a = b = c है |
उत्तर
यहाँ, `[(b+c,c+a,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a)]`
= `[(2(a+b+c),c+a,a+b),(2(a+b+c),a+b,b+c),(2(a+b+c),b+c,c+a)],` ......(C1 → C1 + C2 + C3)
C1 में से 2(a + b + c) उभयनिष्ठ लेने पर,
= `2(a+b+c)[(1,c+a,a+b),(1,a+b,b+c),(1,b+c,c+a)]`
= `2(a+b+c)[(1,c+a,a+b),(0,b-c,c-a),(0,b-a,c-b)]`
[R2 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1]
= 2(a + b + c)[1{(b - c)(c - b) - (c - a)(b - a)} - (c + a){0 - 0} + (a + b){0 - 0}]
= 2(a + b + c)[-{(b - c)}2 - (bc - ac - ab + a2)]
= 2(a + b + c)[-b2 - c2 + 2bc - bx + ac + ab - a2]
= 2(a + b + c)[-b2 - c2 + bc + ac + ab - a2]
= 2(a + b + c)[a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca]
= -(a + b + c)[2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab -2bc - 2ca]
= -(a + b + c)[(a - b) + (b - c) + (c - a)2
अब ∆ = 0 ⇒ a + b + c = 0 या a = b = c
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