Question

यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।

Answer 1

माना P(n): ABⁿ = BⁿA, जबकि AB = BA

किन्तु n = 1, AB = BA (दिया है)

∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

माना P(n) सत्य है, n = k के लिए,

∴ AB^k = B^k A सत्य है।

दोनों ओर B से गुणा करने पर,

L.H.S. = AB^k . B = A (B^k B) = AB^k+1

R.H.S. = (B^k A)B = B^k (AB)

= B^k (BA)

= (B^k B) A = B^k+1A [∵ AB = BA दिया है]

∴ AB^k+1 = B^k+1A

⇒ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए

इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ∈ N के सभी मानों के लिए सत्य है, जबकि n ∈ N

माना P(n): (AB)ⁿ = AⁿBⁿ

n = 1 रखने पर,

L.H.S. = (AB)’ = AB

R.H.S. = A’B’ = AB

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

माना P(n) सत्य है, n = k के लिए.

(AB)^k = A B^k

दोनों पक्षों को AB से गुणा करने पर,

L.H.S. = (AB)^k AB = (AB)^k+1

R.H.S. = A^k B^k . (AB)

= A^k B^k (BA) [∵ AB = BA दिया है।]

= A^k (B^k B)A

= A^k (B^k+1A) [∵ AB^k = B^kA]

= (A^k A)B^k+1 = A^k+1. B^k+1

अतः (AB)^k+1 = A^k+1. B^k+1

∴ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए,

गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ∈ N के सभी मानों के लिए सत्य है जबकि n ∈ N.