Question

यदि दो परस्पर लंब रेखााओं की दिक्-कोसाइन l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लंब रेखा की दिक्-कोसाइन m₁n₂ − m₂n₁, n₁l₂ − n₂l₁, l₁m₂ − l₂m₁ हैं।

Answer 1

यह दिया जाता है कि  l₁, m₁, n₁ तथा l₂, m₂, n₂ दो परस्पर लंब रेखााओं की दिक्-कोसाइन हैं। इसलिए,

l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0 ......(i)

`("l"_1)^2 + ("m"_1)^2 + ("n"_1)^2 = 1` ......(ii)

`("l"_2)^2 + ("m"_2)^2 + ("n"_2)^2 = 1` .......(iii)

आज्ञा देना हो कि दिक् के कोसाइन लाइन जो दिक्-कोसाइन के साथ लाइन के लंबवत है l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂

ll₁ + mm₁ + nn₁ = 0

ll₂ + mm₂ + nn₂ = 0

⇒ `("l"/("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)) = ("m"/("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)) = ("n"/("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1))` 

⇒ `("l"^2/("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2) = ("m"^2/("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2) = ("n"^2/("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2)` 
⇒ `("l"^2 + "m"^2 + "n"^2)/(("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2)` ......(iv)

l, m, n रेखाा की दिक्-कोसाइन हैं। 

∴ `"l"^2 + "m"^2 + "n"^2 = 1` ......(v)

यह जाना जाता है कि,

`(("l"_1)^2 + ("m"_1)^2 + ("n"_1)^2) (("l"_2)^2 + ("m"_2)^2 + ("n"_2)^2) - ("l"_1"l"_2 + "m"_1"m"_2 + "n"_1"n"_2)^2 = ("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2`

(i), (ii), और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं

⇒ 1.1 − 0 = `("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2`

⇒ `("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2 = 1` ....(vi) 

समीकरण (v) और (vi) से समीकरण (iv) में मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ `("l"^2/("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2) = ("m"^2/("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2) = ("n"^2/("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2) = 1`  

⇒ l = m₁n₂ − m₂n₁, m = n₁l₂  − n₂l₁, n = l₁m₂ − l₂m₁

इस प्रकार, आवश्यक रेखा की दिक्-कोसाइन हैं m₁n₂ − m₂n₁, n₁l₂ − n₂l₁, l₁m₂ − l₂m₁