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Question
यदि दो परस्पर लंब रेखााओं की दिक्-कोसाइन l1, m1, n1 और l2, m2, n2 हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लंब रेखा की दिक्-कोसाइन m1n2 − m2n1, n1l2 − n2l1, l1m2 − l2m1 हैं।
Solution
यह दिया जाता है कि l1, m1, n1 तथा l2, m2, n2 दो परस्पर लंब रेखााओं की दिक्-कोसाइन हैं। इसलिए,
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 ......(i)
`("l"_1)^2 + ("m"_1)^2 + ("n"_1)^2 = 1` ......(ii)
`("l"_2)^2 + ("m"_2)^2 + ("n"_2)^2 = 1` .......(iii)
आज्ञा देना हो कि दिक् के कोसाइन लाइन जो दिक्-कोसाइन के साथ लाइन के लंबवत है l1, m1, n1 और l2, m2, n2
ll1 + mm1 + nn1 = 0
ll2 + mm2 + nn2 = 0
⇒ `("l"/("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)) = ("m"/("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)) = ("n"/("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1))`
⇒ `("l"^2/("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2) = ("m"^2/("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2) = ("n"^2/("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2)`
⇒ `("l"^2 + "m"^2 + "n"^2)/(("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2)` ......(iv)
l, m, n रेखाा की दिक्-कोसाइन हैं।
∴ `"l"^2 + "m"^2 + "n"^2 = 1` ......(v)
यह जाना जाता है कि,
`(("l"_1)^2 + ("m"_1)^2 + ("n"_1)^2) (("l"_2)^2 + ("m"_2)^2 + ("n"_2)^2) - ("l"_1"l"_2 + "m"_1"m"_2 + "n"_1"n"_2)^2 = ("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2`
(i), (ii), और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं
⇒ 1.1 − 0 = `("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2`
⇒ `("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2 + ("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2 + ("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2 = 1` ....(vi)
समीकरण (v) और (vi) से समीकरण (iv) में मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
⇒ `("l"^2/("m"_1"n"_2 - "m"_2"n"_1)^2) = ("m"^2/("n"_1"l"_2 - "n"_2"l"_1)^2) = ("n"^2/("l"_1"m"_2 - "l"_2"m"_1)^2) = 1`
⇒ l = m1n2 − m2n1, m = n1l2 − n2l1, n = l1m2 − l2m1
इस प्रकार, आवश्यक रेखा की दिक्-कोसाइन हैं m1n2 − m2n1, n1l2 − n2l1, l1m2 − l2m1
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