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Question
समतलों `vec"r". (hat"i"+ hat"j" + hat"k") = 1` और `vec"r". (2hat"i" + 3hat"j" - hat"k") + 4 = 0` के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution
दो समतल `vec"r". (hat"i"+ hat"j" + hat"k") = 1` और `vec"r". (2hat"i" + 3hat"j" - hat"k") + 4 = 0` के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले 3 समतल का समीकरण
`vec"r". (hat"i" + hat"j" + hat"k") - 1 + λ[vec"r".(2hat"i" + 3hat"j" - hat"k") + 4]` = 0
⇒ `vec"r". [(1 + 2λ)hat"i" + (1 + 3λ)hat"j" + (1 - λ)hat"k"]`
⇒ −1 + 41 = 0 ....(i)
उपरोक्त तल, x-अक्ष के समांतर है।
∴ इस तल का लंब x-अक्ष के अनुलंब है।
समतल के लंब सदिश `[(1 + 2 λ)hat"i" + (1 + 3 λ)hat"j" + (1 - λ)hat"k"]` के अनुदिश हैं।
x-अक्ष के दिक्-कोसाइन 1, 0, 0 हैं
⇒ 1(1 + 2λ) = 0
⇒ λ = `-1/2`
λ का मान समीकरण (i) में रखने पर,
`vec"r". [(1 - 2 xx 1/2)hat"i" + (1 - 3/2)hat"j" +(1 + 1/2)hat"k"] -1 - 4/2 = 0`
⇒ `vec"r". (-1/2 hat"j" + 3/2 hat"k") - 3 = 0`
⇒ `vec"r". (-hat"j" + 3hat"k") - 6 = 0`
⇒ `vec"r". (hat"j" - 3hat"k") + 6 = 0`
अतः यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।
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