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Question
यदि बिंदु (1, 1, p) और (−3, 0, 1) समतल `vec"r". (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13 = 0` से समान दूरी पर स्थित हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
Solution
यहाँ बिंदु `vec"a"` से समतल `vec"r". vec"n" = "d"` की दूरी
= `|(vec"a"_1. vec"n" - "d")/|vec"n"||`
और यहाँ `vec"a"_1 = (1, 1, "p")`, `vec"n" = 3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k"`, d = −13
∴ (1, 1, p) से दिए गए समतल की दूरी
= `|((hat"i" + hat"j" + "p"hat"k"). (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13)/sqrt(9 + 16 + 144)|`
= `|((3 + 4 - 12"p") + 13)/sqrt169|`
= `|(20 - 12"p")/13|` ...(i)
(−3, 0, 1) से समतल `vec"r". (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13 = 0` से दूरी
= `|((-3hat"i" + hat"k"). (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13)/sqrt((3)^2 + (4)^2 + (12)^2)|`
= `|(-9 -12 + 13)/13|`
= `8/13` ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
`|(20 - 12"p")/13|`
= `±8/13`
20 – 12p = ± 8
धनात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = 8
12p = 20 – 8
= 12
∴ p = 1
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = –8
12p = 20 + 8
12p = 28
p = `28/12 = 7/3`
अतः p = `1, 7/3`
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