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Question
रेखाओं `vecr = (hati + 2hatj + hatk) + λ(hati - hatj + hatk)` और `vecr = 2hati - hatj - hatk + µ(2hati + hatj + 2hatk)` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
Solution
दी गई रेखाओं समीकरण `vecr = (hati + 2hatj + hatk) + λ(hati - hatj + hatk)` .....(1)
तथा `vecr = 2hati - hatj - hatk + µ(2hati + hatj + 2hatk)` .....(2)
समीकरण (1) की तुलना `vecr = vec(a_1) + λvec(b_1)` से तथा समीकरण (2) की तुलना `vecr = vec(a_2) + µvec(b_2)` से करने पर,
`vec(a_1) = hati + 2hatj + hatk` और `vec(a_2) = 2hati - 2hatj - hatk`
`vec(b_1) = hati - hatj + hatk` और `vec(b_2) = 2hati + hatj + 2hatk`
अब, `vec(a_2) - vec(a_1) = hati - 3hatj - 2hatk`
और `vec(b_1) xx vec(b_2) = |(hati, hatj, hatk), (1, -1, 1), (2, 1, 2)|`
= `(-2 -1) hati - (2 - 2) hatj + (1 + 2) hatk`
= `-3hati - 0hatj + 3hatk`
न्यूनतम दूरी की आवश्यकता
`= |((vecb_1 xx vecb_2)* (veca_2 - veca_1))/|vecb_1 xx vecb_2||`
`= |((-3hati + 3hatk)* (hati - 3hatj - 2hatk))/|-3hati + 3hatk||`
`= |((-3) xx 1 + 0 xx (-3) + 3 xx (-2))/ sqrt((-3)^2 + 3^2)|`
`= 9/sqrt18`
`= 9/(3sqrt2)`
`= 3/sqrt2` इकाइयाँ
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रेखाओं `(x + 1)/7 = (y + 1)/-6 = (z + 1)/1` और `(x- 3)/1 = (y - 5)/-2 = (z - 7)/1` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
`vecr = (hati + 2hatj + 3hatk) + λ(hati - 3hatj + 2hatk)` और `vecr = 4hati + 5hatj + 6hatk + µ(2hati + 3hatj + hatk)`
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम ज्ञात कीजिए:
`vecr = (1 - t)hati + (t - 2)hatj + (3 - 2t)hatk` और `vecr = (s + 1)hati + (2s - 1)hatj + (2s + 1)hatk`
रेखाओं `vecr = 6hati + 2hatj + 2hatk + λ(hati - 2hatj+ 2hatk)`और `vecr = -4hati - hatk + µ(3hati - 2hatj+ 2hatk)` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदु (1, 1, p) और (−3, 0, 1) समतल `vec"r". (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13 = 0` से समान दूरी पर स्थित हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
