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Question
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
`vecr = (hati + 2hatj + 3hatk) + λ(hati - 3hatj + 2hatk)` और `vecr = 4hati + 5hatj + 6hatk + µ(2hati + 3hatj + hatk)`
Solution
दिए गए समीकरणों की तुलना करें,
`vecr = vec(a_1) + λvec(b_1)` तथा `vecr = vec(a_2) + µvec(b_2)` क्रमशः, हमारे पास है, `vec(a_1) = hati + 2hatj + 3hatk, vec(b_1) = hati - 3hatj + 2hatk`
`vec(a_2) = 4hati + 5hatj + 6hatk` तथा `vec(b_2) = 2hati + 3hatj + hatk`
अब, `vec(a_2) - vec(a_1) = 3hati + 3hatj + 3hatk`
और `vec(b_1) xx vec(b_2) = |(hati, hatj, hatk), (1, -3, 2), (2, 3, 1)|`
= `-9hati + 3hatj + 9hatk`
`|vec(b_1) xx vec(b_2)| = 3sqrt19`
∴ `(vec(a_2) - vec(a_1)). (vec(b_1) xx vec(b_2)) = 9`
d = `|((vec(a_2) - vec(a_1)). (vec(b_1) xx vec(b_2)))/|vec(b_1) xx vec(b_2)||`
`= |(-9 xx 3 + 3 xx 3 + 9 xx3)/sqrt((-9)^2 + 3^2 + 9^2)|`
`= |9/ (sqrt(3^2) sqrt(3^2 + 1 + 3^2))|`
= `9/(3sqrt19)`
= `3/sqrt19`
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रेखाओं `vecr = (hati + 2hatj + hatk) + λ(hati - hatj + hatk)` और `vecr = 2hati - hatj - hatk + µ(2hati + hatj + 2hatk)` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
रेखाओं `(x + 1)/7 = (y + 1)/-6 = (z + 1)/1` और `(x- 3)/1 = (y - 5)/-2 = (z - 7)/1` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम ज्ञात कीजिए:
`vecr = (1 - t)hati + (t - 2)hatj + (3 - 2t)hatk` और `vecr = (s + 1)hati + (2s - 1)hatj + (2s + 1)hatk`
रेखाओं `vecr = 6hati + 2hatj + 2hatk + λ(hati - 2hatj+ 2hatk)`और `vecr = -4hati - hatk + µ(3hati - 2hatj+ 2hatk)` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदु (1, 1, p) और (−3, 0, 1) समतल `vec"r". (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13 = 0` से समान दूरी पर स्थित हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
