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Question
रेखाओं `vecr = 6hati + 2hatj + 2hatk + λ(hati - 2hatj+ 2hatk)`और `vecr = -4hati - hatk + µ(3hati - 2hatj+ 2hatk)` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution
यदि दो बिंदु , a2 रेखा पर और b1 रेखा पर है, और 22 उनकी दिशा है, तब उनके बीच न्यूनतम दूरी
यदि दो बिंदु `vec(a_1), vec(a_2)` रेखा पर और `vec(b_1)` और `vec(b_2)`
उनकी दिशा तब उनके बीच की न्यूनतम दूरी = `|((vec(a_1) - vec(a_2)). (vec(b_1) xx vec(b_2)))/|vec(b_1) xx vec(b_2)||`
दी गयी रेखाएँ, `vecr = 6hati + 2hatj + 2hatk + λ(hati - 2hatj+ 2hatk)`
और `vecr = -4hati - hatk + µ(3hati - 2hatj+ 2hatk)`
यहाँ, `vec(a_1) = 6hati + 2hatj + 2hatk`, `vec(a_2) = -4hati - hatk`
`vec(b_1) = hati - 2hatj + 2hatk`, `vec(b_2) = 3hati - 2hatk -2hatk`
`vec(a_1) - vec(a_2) = (6hati + 2hatj + 2hatk) - (-4hati - hatk)`
= `10hati + 2hatj + 3hatk`
`vec(b_1) xx vec(b_2) = |(hati, hatj, hatk), (1, -2, 2), (3, -2, -2)|`
= `8hati + 8hatj + 4hatk`
`|vec(b_1) xx vec(b_2)|`
= `sqrt(8^2 + 8^2 + 4^2)`
= 12
∴ S.D. = `((vec(a_1) - vec(a_2)). (vec(b_1) xx vec(b_2)))/|vec(b_1) xx vec("b"_2)|`
= `((10hati + 2hatj + 3hatk).(8hati + 8hatj + 4hatk))/12`
= `(80 + 16 + 12)/12`
= `108/12`
= 9
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रेखाओं `vecr = (hati + 2hatj + hatk) + λ(hati - hatj + hatk)` और `vecr = 2hati - hatj - hatk + µ(2hati + hatj + 2hatk)` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
रेखाओं `(x + 1)/7 = (y + 1)/-6 = (z + 1)/1` और `(x- 3)/1 = (y - 5)/-2 = (z - 7)/1` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
`vecr = (hati + 2hatj + 3hatk) + λ(hati - 3hatj + 2hatk)` और `vecr = 4hati + 5hatj + 6hatk + µ(2hati + 3hatj + hatk)`
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम ज्ञात कीजिए:
`vecr = (1 - t)hati + (t - 2)hatj + (3 - 2t)hatk` और `vecr = (s + 1)hati + (2s - 1)hatj + (2s + 1)hatk`
यदि बिंदु (1, 1, p) और (−3, 0, 1) समतल `vec"r". (3hat"i" + 4hat"j" - 12hat"k") + 13 = 0` से समान दूरी पर स्थित हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
