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Question
बिंदु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं `(x - 8)/3 = (y + 19)/-16 = (z -10)/7` और `(x - 15)/3 = (y - 29)/8 = (z - 5)/-5` पर लंब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution
माना अभीष्ट रेखा
`vecr = hati + 2hatj - 4hatk + λ(b_1hati + b_2hatj + b_3hatk)` ......(i)
रेखाएँ `(x - 8)/3 = (y + 19)/-16 = (z -10)/7` और `vecr = hati + 2hatj - 4hatk + λ(b_1hati + b_2hatj + b_3hatk)` आपस में लंब हैं।
इन रेखाओं के दिक्-अनुपात 3, −16, 7 और b1, b2, b3 हैं। ये रेखाएँ परस्पर लंब हैं, यदि
3b1 − 16b2 + 7b3 = 0 .....(ii)
इसी प्रकार रेखा `(x -15)/3 = (y - 29)/8 = (z - 5)/-5` और `vecr = hati + 2hatj - 4hatk + λ(b_1hati + b_2hatj + b_3hatk)` के दिक्-अनुपात 3, 8, −5 और b1, b2, b3 हैं। ये परस्पर लंब हैं।
∴ 3b1 + 8b2 − 5b3 = 0 ......(iii)
समीकरण (ii) और (iii) से,
`b_1/(80 - 56) = b_2/(21 + 15) = b_3/(24 + 18)`
या `b_1/24 = b_2/36 = b_3/72`
या `b_1/2 = b_2/3 = b_3/6`
b1, b2, b3 का समानुपाती मान (i) में रखने पर,
`vecr = hati + 2hatj - 4hatk + λ(2hati + 3hatj + 6hatk)`
यह अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
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