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प्रश्न
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
उत्तर
मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। यह दर्शाने के लिए कि ABCD एक आयत है, हमें यह सिद्ध करना होगा कि इसका एक अंत: कोण 90° है।
ΔABC और ΔDCB में,
AB = DC ...(समानांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)
BC = BC ...(उभयनिष्ठ)
AC = DB ...(दिया गया है।)
∴ ΔABC ≅ ΔDCB ...(SSS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ ∠ABC = ∠DCB
यह ज्ञात है कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के कोणों के मापों का योग 180º होता है।
∠ABC + ∠DCB = 180° ...(AB || CD)
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक अंत: कोण 90° है, इसलिए ABCD एक आयत है।
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