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प्रश्न
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए दिया गया वृत्त त्रिभुज की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदु E और F पर स्पर्श करता है और रेखाखंड AF की लंबाई x है।
ΔABC में,
CF = CD = 6cm ....(बिंदु C से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं)
BE = BD = 8cm ....(बिंदु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं)
AE = AF = x ....(बिंदु A से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ)
AB = AE + EB = x + 8
BC = BD + DC = 8 + 6 = 14
CA = CF + FA = 6 + x
2s = AB + BC + CA
= x + 8 + 14 + 6 + x
= 28 + 2x
S = 14 + x
`"त्रिभुज का क्षेत्रफल" ABC = sqrt(s(s-1)(s-b)(s-c))`
`=sqrt({14+x}{(14+x)-14}{(14+x)-(6+x)}{(14+x)-(8+x)})`
`=sqrt((14+x)(x)(8)(6))`
`=4sqrt(3(14x+x^2))`
`"त्रिभुज OBC का क्षेत्रफल" = 1/2xxODxxBC `
`= 1/2xx4xx14 `
= 28
त्रिभुज OCA का क्षेत्रफल = `1/2xxOFxxAC `
`= 1/2xx4xx(6+x)`
`= 12+2x`
`"त्रिभुज" OAB "का क्षेत्रफल" = 1/2xxOExxAB`
` = 1/2xx4xx(8+x) `
`= 16+2x`
ABC का क्षेत्रफल = OBC का क्षेत्रफल + OCA का क्षेत्रफल + OAB का क्षेत्रफल
`4sqrt(3(14x+x^2)) = 28+12+2x+16+2x`
`4sqrt(3(14x+x^2)) = 56+4x`
`=> (3(14x+x^2)) = 14+x`
`=>3(14x+x^2) = (14+x)^2`
`=>42x+3x^2=196+x^2+28x`
`=>2x^2+14x-196 = 0`
`=>x^2+7x-98 = 0`
`=>x^2+14x-7x-98= 0`
`=>x(x+14)-7(x+14) = 0`
=>(x + 14) (x − 7) = 0
या तो x + 14 = 0 या x − 7 = 0
इसलिए, x = −14 और 7
हालांकि, x = −14 संभव नहीं है क्योंकि भुजाओं की लंबाई ऋणात्मक होगी।
इसलिए, x = 7
अत: AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 सेमी
BC = 8 + 6 = 14 सेमी
CA = 6 + x = 6 + 7 = 13 सेमी
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