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प्रश्न
आकृति में, O त्रिज्या 5 cm वाले वृत्त का केंद्र है, T एक बिंदु इस प्रकार है कि OT = 13 cm है तथा OT वृत्त को E पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AB, बिंदु E पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा है तो AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया गया है: केंद्र O और त्रिज्या = 5 सेमी T वाला एक वृत्त एक बिंदु है, OT = 13 सेमी। OT वृत्त को E पर काटता है और AB वृत्त की स्पर्श रेखा E पर है।
ज्ञात करना है: AB की लंबाई
OP ⊥ PT ...[वृत्त पर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा संपर्क के बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है।]
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ∆TOP में P पर समकोण,
(OT)2 = (OP)2 + (PT)2
(13)2 = (5)2 + (PT)2
(PT)2 = 169 – 25 = 144
PT = 12 cm
PT = TQ = 12 cm ...[बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।]
अब, OT = OE + ET
ET = OT – OE
= 13 – 5
= 8 cm
अब, चूँकि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
AE = PA ...[1]
EB = BQ ...[2]
साथ ही OE ⊥ AB ...[वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।]
∠AEO = 90°
∠AEO + ∠AET = 180° ...[रैखिक युग्म द्वारा]
∠AET = 90°
ΔAET में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
(AT)2 = (AE)2 + (ET)2 ...[यहाँ AE = PA एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं।]
(PT – PA)2 = (PA)2 + (ET)2
(12 – PA)2 = (PA)2 + (8)2 ...[1 से]
144 + (PA)2 – 24PA = (PA)2 + 64
24PA = 80 ...[3]
∠AET + ∠BET = 180° ...[रैखिक युग्म]
90° + ∠BET = 180°
∠BET = 90°
ΔBET में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
(BT)2 = (BE)2 + (ET)2
(TQ – BQ)2 = (BQ)2 + (ET)2 ...[2 से]
(12 – BQ)2 = (BQ)2 + (8)2
144 + (BQ)2 – 24BQ = (BQ)2 + 64
24BQ = 80 ...[4]
So, AB = AE + BE
AB = PA + BQ ...[1 और 2 से]
AB = `10/3 + 10/3` ...[3 और 4 से]
AB = `20/3` cm
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