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प्रश्न
आकृति में, केंद्रों O और O' वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ AB और CD परस्पर E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि बिंदु O, E, O' संरेखी हैं।
उत्तर
AO, OC और O'D, O'B को जोड़ें।
अब, ∆EO'D और ∆EO'B में,
O’D = O’B
O’E = O’E
ED = EB ...[बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएं लंबाई में बराबर होती हैं।]
∴ EO’D ≅ ∆ EO’B ...[SSS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा]
⇒ ∠O’ED = ∠O’EB ...(i)
अर्थात्, O'E, ∠DEB का कोण समद्विभाजक है।
इसी प्रकार, OE ∠AEC का कोण समद्विभाजक है।
अब, चतुर्भुज DEBO' में।
∠O’DE = ∠O’BE = 90° ...[CED वृत्त की एक स्पर्श रेखा है और O'D त्रिज्या है, अर्थात, O'D ⊥ CED]
⇒ ∠O’DE + ∠O’BE = 180°
∴ ∠DEB + ∠DO’B = 180° ...(ii) [∵ DEBO' चक्रीय चतुर्भुज है।]
चूँकि, AB एक सीधी रेखा है।
∴ ∠AED + ∠DEB = 180°
⇒ ∠AED + 180° – ∠DO’B = 180° ...[From (ii)]
⇒ ∠AED = ∠DO’B ...(iii)
इसी प्रकार, ∠AED = ∠AOC ...(iv)
पुनः समीकरण (ii) से,
∠DEB = 180° – ∠DO’B
दोनों ओर 2 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है।
`1/2 ∠"DEB" = 90^circ - 1/2 ∠"DO'B"`
⇒ ∠DE'O = 90° `-1/2` ∠DO'B ...(v) [∵ O'E, ∠DEB का कोण समद्विभाजक है अर्थात `1/2` ∠DEB = ∠DEO']
इसी प्रकार, ∠AEC = 180° – ∠AOC
दोनों ओर 2 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है।
`1/2 ∠"AEC" = 90^circ - 1/2 ∠"AOC"`
⇒ `∠"AEO" = 90^circ - 1/2 ∠"AOC"` ...(vi) [∵ OE, ∠AEC का कोण समद्विभाजक है, अर्थात, `1/2 ∠"AEC" = ∠"AEO" `]
अब, ∠AED + ∠DEO' + ∠AEO = ∠AED + `(90^circ - 1/2 ∠"DO'B") + (90^circ - 1/2 ∠"AOC")`
= `∠"AED" + 180^circ - 1/2 (∠"DO'B" + ∠"AOC")`
= `∠"AED" + 180^circ - 1/2 (∠"AED" + ∠"AED")` ...[समीकरण (iii) और (iv) से]
= `∠"AED" + 180^circ - 1/2 (2 xx ∠"AED")`
= ∠AED + 180° – ∠AED = 180°
∴ ∠AED + ∠DEO' + ∠AEO = 180°
तो, OEO' सीधी रेखा है।
अतः, O, E और O' संरेख हैं।
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