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प्रश्न
केंद्र O वाले किसी वृत्त का AB एक व्यास है और AC एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30° है। C पर वृत्त की स्पर्श रेखा बढ़ाई गई AB को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि BC = BD है।
उत्तर
यह दिया गया है कि ∠BAC = 30° और AB व्यास है।
∠ACB = 90° ...(व्यास से बना कोण 90° है।)
∆ABC में,
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°
⇒ 90° + 30° + ∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 60°
⇒ ∠CBD = 180° – 60° = 120° ...(∠CBD और ∠ABC एक रैखिक युग्म बनाते हैं।)
∆OCD में,
∠OCD = 90° ...(स्पर्श रेखा पर त्रिज्या द्वारा बना कोण)
∠OBC = ∠ABC = 60°
चूँकि OB = OC,
∠OCB = ∠OBC = 60° ...(OC = OB = त्रिज्या)
∆OCB में,
⇒ ∠COB + ∠OCB + ∠OBC = 180°
⇒ ∠COB + 60° + 60° = 180°
⇒ ∠COB = 60°
∆OCD में,
∠COD + ∠OCD + ∠ODC = 180°
⇒ 60° + 90° + ∠ODC = 90° ...(∠COD = ∠COB)
⇒ ∠ODC = 30°
∆CBD में,
∠CBD = 120°
∠BDC = ∠ODC = 30°
⇒ ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180°
⇒ ∠BCD + 30° + 120° = 180°
⇒ ∠BCD + 30° = ∠BDC
CD पर BC और BD द्वारा बनाए गए कोण बराबर हैं, इसलिए ∆CBD एक समद्विबाहु त्रिभुज है और इसलिए, BC = BD है।
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