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प्रश्न
छेदक रेखा `x = a/sqrt2` द्वारा वृत्त x2 + y2 = a2 के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
वृत्त का समी० x2 + y2 = a2 …(i)
`a/sqrt2` …(ii)
समीकरण (i) से स्पष्ट है कि यह एक वृत्त है और समीकरण (ii) y-अक्ष के समांतर `a/sqrt2` मात्रक दूरी पर इसके दायीं ओर एक सरल रेखा है।
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर
प्रथम चतुर्थांश में समीकरण (i) और (ii) में प्रतिछेदन बिंदु `(a/sqrt2, a/sqrt2)` है।
∴ क्षेत्रफल = 2 × DBAD का क्षेत्रफल
`= 2 xx int_("a"//sqrt2)^"a" "y" dx`
` 2 xx int_("a"//sqrt2)^"a" sqrt("a"^2 - x^2) "dx"`
`= 2 [x/2 sqrt("a"^2 - x^2) + "a"^2/2 sin^-1 x/"a"]_("a"//sqrt2)^"a"`
`= 2 [0 + "a"^2/2 sin^-1 (1) - "a"/(2sqrt2) sqrt("a"^2/2) - "a"^2/2 sin^-1 1/sqrt2 ]`
`= 2 ["a"^2/2 xx pi/2 - "a"^2/4 - "a"^2/2 xx pi/4]`
`= 2 [(pi"a"^2)/4 - "a"^2/4 - (pi"a"^2)/8]`
`= 2 [(pi"a"^2)/8 - "a"^2/4]`
`= "a"^2/2 (pi/2 - 1)` वर्ग इकाई
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