Advertisements
Advertisements
प्रश्न
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य है। " क्या यह कथन सत्य है या असत्य? कारण दीजिए।
पर्याय
सत्य
असत्य
उत्तर
यह कथन सत्य है।
स्पष्टीकरण:
माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = a, a + 1
हमारे पास है,
a = bq + r
जहाँ 0 ≤ r < b
b = 2 के लिए, हमारे पास a = 2q + r है।
जहाँ 0 ≤ r < 2 ......(i)
समीकरण (i) में r = 0 प्रतिस्थापित करने पर,
हमें मिलता है,
a = 2q, 2 से विभाज्य है।
a + 1 = 2q + 1, 2 से विभाज्य नहीं है।
समीकरण (i) में r = 1 प्रतिस्थापित करने पर,
हमें मिलता है,
a = 2q + 1, 2 से विभाज्य नहीं है।
a + 1 = 2q + 1 + 1 = 2q + 2, 2 से विभाज्य है।
इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, 0 ≤ r < 2 के लिए
प्रत्येक दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक 2 से विभाज्य है।
अतः दो लगातार धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी सम होगा।
अतः कथन "दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य है" सत्य है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
दर्शाइए कि किसी पूर्णांक q के लिए, किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q+1 के रूप का होता है।
सिद्ध कीजिए कि यदि x और y दोनों धनात्मक विषम पूर्णांक हैं, तो x2 + y2 एक सम संख्या है परंतु 4 से विभाज्य नहीं है।
441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत : किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]
