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प्रश्न
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 6 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक q और r मौजूद हैं जैसे कि
a = 6q + r, जहां 0 ≤ r < 6
`\implies` a2 = (6q + r)2 = 36 q2 + r2 + 12qr .......[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
`\implies` a2 = 6(6q2 + 2qr) + r2 … (i)
जहाँ, 0 ≤ r < 6
केस I: जब r = 0,
फिर समीकरण (i) में r = 0 रखने पर, हमें मिलता है।
a2 = 6(6q2)
= 6m
जहाँ, m = 6q2 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
फिर समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है।
a2 = 6(6q2 + 2q) + 1
= 6m + 1
जहाँ, m = (6q2 + 2q) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
फिर समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है।
a2 = 6(6q2 + 4q) + 4
= 6m + 4
जहाँ, m = (6q2 + 4q) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब r = 3,
फिर समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है।
a2 = 6(6q2 + 6q) + 9
= 6(6q2 + 6q) + 6 + 3
`\implies` a2 = 6(6q2 + 6q + 1) + 3
= 6m + 3
जहाँ, m = (6q2 + 6q + 1) एक पूर्णांक है।
केस V: जब r = 4,
फिर समीकरण (i) में r = 4 रखने पर, हमें मिलता है।
a2 = 6(6q2 + 8q) + 16
= 6(6q2 + 8q) + 12 + 4
`\implies` a2 = 6(6q2 + 8q + 2) + 4
= 6m + 4
जहाँ, m = (6q2 + 8q + 2) एक पूर्णांक है।
केस VI: जब r = 5,
फिर समीकरण (i) में r = 5 रखने पर, हमें मिलता है।
a2 = 6(6q2 + 10q) + 25
= 6(6q2 + 10q) + 24 + 1
`\implies` a2 = 6(6q2 + 10q + 4) + 1
= 6m + 1
जहाँ, m = (6q2 + 10q + 4) एक पूर्णांक है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी भी पूर्णांक m के लिए 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
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