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प्रश्न
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 5 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक m और r मौजूद होते हैं जैसे कि
a = 5m + r, जहां 0 ≤ r < 5
`\implies` a2 = (5m + r)2 = 25m2 + r2 + 10mr ......[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
`\implies` a2 = 5(5m2 + 2mr) + r2, जहां, 0 < r < 5 …(i)
केस I: जब r = 0,
फिर समीकरण (i) में r = 0 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2) = 5q
जहाँ, q = 5m2 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
फिर समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 2m) + 1
`\implies` a2 = 5q + 1
जहाँ, q = (5m2 + 2m) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
फिर समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 4m) + 4
= 5q + 4
जहाँ, q = (5m2 + 4m) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब r = 3,
फिर समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 6m) + 9
= 5(5m2 + 6m) + 5 + 4
= 5(5m2 + 6m + 1) + 4
= 5q + 4
जहाँ, q = (5m2 + 6m + 1) एक पूर्णांक है।
केस V: जब r = 4,
फिर समीकरण (i) में r = 4 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 8m) + 16
= 5(5m2 + 8m) + 15 + 1
`\implies` a2 = 5(5m2 + 8m + 3) + 1
= 5q + 1
जहाँ, q = (5m2 + 8m + 3) एक पूर्णांक है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
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