Advertisements
Advertisements
Question
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
Solution
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 5 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक m और r मौजूद होते हैं जैसे कि
a = 5m + r, जहां 0 ≤ r < 5
`\implies` a2 = (5m + r)2 = 25m2 + r2 + 10mr ......[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
`\implies` a2 = 5(5m2 + 2mr) + r2, जहां, 0 < r < 5 …(i)
केस I: जब r = 0,
फिर समीकरण (i) में r = 0 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2) = 5q
जहाँ, q = 5m2 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
फिर समीकरण (i) में r = 1 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 2m) + 1
`\implies` a2 = 5q + 1
जहाँ, q = (5m2 + 2m) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
फिर समीकरण (i) में r = 2 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 4m) + 4
= 5q + 4
जहाँ, q = (5m2 + 4m) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब r = 3,
फिर समीकरण (i) में r = 3 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 6m) + 9
= 5(5m2 + 6m) + 5 + 4
= 5(5m2 + 6m + 1) + 4
= 5q + 4
जहाँ, q = (5m2 + 6m + 1) एक पूर्णांक है।
केस V: जब r = 4,
फिर समीकरण (i) में r = 4 रखने पर, हमें मिलता है
a2 = 5(5m2 + 8m) + 16
= 5(5m2 + 8m) + 15 + 1
`\implies` a2 = 5(5m2 + 8m + 3) + 1
= 5q + 1
जहाँ, q = (5m2 + 8m + 3) एक पूर्णांक है।
इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
135 और 225
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
196 और 38220
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n2 − 1, 8 से विभाज्य है।
सिद्ध कीजिए कि यदि x और y दोनों धनात्मक विषम पूर्णांक हैं, तो x2 + y2 एक सम संख्या है परंतु 4 से विभाज्य नहीं है।
441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या n3 − n, 6 से विभाज्य है।
दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत : किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]
