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Question
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
Solution
n को 3 से विभाजित करने पर, मान लीजिए q भागफल है और r शेषफल है।
फिर, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा,
n = 3q + r, जहां 0 ≤ r < 3
`\implies` n = 3q + r, जहां r = 0, 1, 2
`\implies` n = 3q या n = 3q + 1 या n = 3q + 2
केस I: यदि n = 3q जो 3 से विभाज्य है।
लेकिन n + 2 और n + 4, 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल n को 3 से विभाजित किया गया है।
केस II: यदि n = 3q + 1,
फिर (n + 2) = 3q + 3 = 3(q + 1),
जो 3 से विभाज्य है लेकिन n और n + 4 3 से विभाज्य नहीं है।
तो, इस मामले में, केवल (n + 2) 3 से विभाज्य है।
केस III: यदि n = 3q + 2,
फिर (n + 4) = 3q + 6 = 3(q + 2),
जो 3 से विभाज्य है लेकिन n और (n + 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
तो, इस मामले में, केवल (n + 4) 3 से विभाज्य है।
अतः n, (n + 2) और (n + 4) में से केवल एक ही 3 से विभाज्य है।
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