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प्रश्न
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन, किसी पूर्णांक m के लिए, 4m, 4m + 1 या 4m + 3 के रूप का होता है।
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।
फिर, विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, सकारात्मक पूर्णांक a और 4 के अनुरूप, गैर-नकारात्मक पूर्णांक q और r मौजूद होते हैं जैसे कि
a = 4q + r, जहां 0 ≤ r < 4
`\implies` a3 = (4q + r)3
= 64q3 + r3 + 12qr2 + 48q2r .......[∵ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab2 + 3a2b)
`\implies` a3 = (64q3 + 48q2r + 12qr2) + r3 .......(i)
जहाँ, 0 ≤ r < 4
केस I: जब r = 0,
फिर r = 0 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है
a3 = 64q3 = 4(16q3)
`\implies` a3 = 4m, जहां, m = 16q3 एक पूर्णांक है।
केस II: जब r = 1,
फिर r = 1 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है
a3 = 64q3 + 48q2 + 12q + 1
= 4(16q3 + 12q2 + 3q) + 1
= 4m + 1
जहाँ, m = (16q3 + 12q2 + 3q) एक पूर्णांक है।
केस III: जब r = 2,
फिर r = 2 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है
a3 = 64q3 + 96q2 + 48q + 8
= 4(16q3 + 24q2 + 12q + 2)
= 4m
जहाँ, m = (16q3 + 24q2 + 12q + 2) एक पूर्णांक है।
केस IV: जब आर = 3,
फिर r = 3 को समीकरण (i) में डालते हुए, हमें मिलता है
a3 = 64q3 + 144q2 + 108q + 27
= 64q3 + 144q2 + 108q + 24 + 3
= 4(16q3 + 36q2 + 27q + 6) + 3
= 4m + 3
जहाँ, m = (16q3 + 36q2 + 27q + 6) एक पूर्णांक है।
इसलिए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक का घन कुछ पूर्णांक m के लिए फॉर्म 4m, 4m + 1 या 4m + 3 का है।
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