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प्रश्न
दर्शाइए कि a एवं b के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल a × b के परिमाण का आधा है।
उत्तर
माना `vec"OA" = vec"a" ; vec"OB" = vec"b" , angle"AOB" = theta`
चित्रानुसार सदिशों `vec"a"` तथा `vec"b"` के बीच ΔOAB बनता है जबकि OACB एक समांतर चतुर्भुज है।
सदिश गुणन की परिभाषा से,
`vec"a" xx vec"b" = |vec"a"| |vec"b"| sin thetahat"n"`
जहाँ `hat"n"`, सदिशों `vec"a"` व `vec"b"` दोनों के लंबवत एकक सदिश है।
∴ `|vec"a" xx vec"b"| = |vec"a"| |vec"b"| sin theta`
= OA . OB sin θ ...(1)
चित्र में BD, OA पर लंब है।
∴ `"sin" theta = "BD"/"OB"` या `"BD" = "OB" "sin" theta`
∴ समीकरण (1) से,
`|vec"a" xx vec"b"| = "OA" . "BD"`
= समांतर चतुर्भुज का आधार × समांतर भुजाओं इ बीच की लांबिक दूरी
= समांतर चतुर्भुज OACB का क्षेत्रफल
परन्तु ΔOAB का क्षेत्रफल = `1/2` समांतर चतुर्भुज OACB का क्षेत्रफल
= `1/2 |vec"a" xx vec"b"|`
अतः सदिशों a तथा b के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल a × b के मापांक का आधा है।
