Question

दर्शाइए कि a एवं b के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल a × b के परिमाण का आधा है।

Answer 1

माना `vec"OA" = vec"a"  ;  vec"OB" = vec"b" , angle"AOB" = theta`

चित्रानुसार सदिशों `vec"a"` तथा `vec"b"` के बीच ΔOAB बनता है जबकि OACB एक समांतर चतुर्भुज है।

सदिश गुणन की परिभाषा से,

`vec"a" xx vec"b" = |vec"a"| |vec"b"| sin  thetahat"n"`

जहाँ `hat"n"`, सदिशों `vec"a"`  व   `vec"b"` दोनों के लंबवत एकक सदिश है।

∴ `|vec"a" xx vec"b"| = |vec"a"| |vec"b"| sin  theta`

= OA . OB sin θ     ...(1)

चित्र में BD, OA पर लंब है।

∴ `"sin"  theta = "BD"/"OB"`  या  `"BD" = "OB"  "sin"  theta`

∴ समीकरण (1) से,

`|vec"a" xx vec"b"| = "OA" . "BD"`

= समांतर चतुर्भुज का आधार × समांतर भुजाओं इ बीच की लांबिक दूरी

= समांतर चतुर्भुज OACB का क्षेत्रफल

परन्तु ΔOAB का क्षेत्रफल = `1/2` समांतर चतुर्भुज OACB का क्षेत्रफल

= `1/2 |vec"a" xx vec"b"|`

अतः सदिशों a  तथा b के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल a × b के मापांक का आधा है।